Так как тре­уголь­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то в ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Про­ве­дем Вы­со­ту DO, где O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды. Про­ве­дем вы­со­ту AN, ко­то­рая яв­ля­ет­ся так же ме­ди­а­ной и бис­сек­три­сой.Она прой­дет через точку O по свой­ству рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка. Тогда ON = OA = r. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах BC пер­пен­ди­ку­ляр­но DN, тогда DNO = 60°.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ODN, в ко­то­ром DON = 90°, DNO = 60°, тогда ODN = 30°. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке сто­ро­на, ле­жа­щая на­про­тив угла в 30°, равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Тогда:

По фор­му­ле ра­ди­у­са окруж­но­сти, впи­сан­ной в рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник по­лу­ча­ем, что см. Тогда см.

Из тре­уголь­ни­ка BND, вос­поль­зо­вав­шись тео­ре­мой Пи­фа­го­ра, най­дем r:

Тогда см. Най­дем BC, зная, что BC = 2BN:

Ответ: см.