Пря­мо­уголь­ник AABB яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AAB ги­по­те­ну­за AB равна 10 см, синус угла ABA равен Най­дем длину ка­те­та AA₁:

Таким об­ра­зом, вы­со­та ци­лин­дра равна 6 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AA₁B:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен по­ло­ви­не ка­те­та AB, то есть 4 см. Вы­чис­лим объем ци­лин­дра:

Ответ: см³.

Пря­мо­уголь­ник AA₁BB₁ яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AAB ги­по­те­ну­за A₁B равна 13 см, ко­си­нус угла A₁BA равен Най­дем длину ка­те­та AB:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AA₁B:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен по­ло­ви­не ка­те­та AB, то есть 6 см. Вы­чис­лим объем ци­лин­дра:

Ответ: см³.

Про­ведём CH  — вы­со­ту в тре­уголь­ни­ке ABC. По тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах С₁H пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой AB. Угол C₁HC  — ис­ко­мый, так как он яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. От­ре­зок CH яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, по­сколь­ку тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный и пря­мо­уголь­ный, а зна­чит Найдём тан­генс угла C₁HC: Под­ста­вим и по­лу­чим, что тогда угол C₁HC равен 30°.

Ответ: 30°.

Про­ведём CH  — вы­со­ту в тре­уголь­ни­ке ABC. По тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах H пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой AB. Угол C₁HC  =  60°, так как он яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. От­ре­зок CH яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, по­сколь­ку тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный и пря­мо­уголь­ный. Найдём CH через тан­генс угла CHC: Под­ста­вим и по­лу­чим, что тогда так как HC  — ме­ди­а­на.

Ответ:

Ос­но­ва­ние ко­ну­са впи­са­но в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, а вер­ши­ны ко­ну­са и пи­ра­ми­ды сов­па­да­ют. DO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды и ко­ну­са, O  — центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти. Зна­чит, тогда Так как DK и DM  — об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са, а тре­уголь­ник DMK  — осе­вое се­че­ние, то Тогда имеем:

От­сю­да угол Тогда из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MOD вы­со­та ко­ну­са

Объём ко­ну­са найдём по фор­му­ле

Ответ:

Пусть ребро куба равно a. По­сколь­ку пря­мые B₁K и BM не пе­ре­се­ка­ют­ся и лежат в раз­ных плос­ко­стях, они яв­ля­ют­ся скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся. За­ме­тим, что от­ре­зок KM па­рал­ле­лен и равен пря­мой BC, зна­чит, КM па­рал­ле­лен и равен пря­мой B₁C₁. Тогда по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма че­ты­рех­уголь­ник KB₁C₁M  — па­рал­ле­ло­грамм. Сле­до­ва­тель­но, от­рез­ки C₁M и B₁K па­рал­лель­ны. Ис­ко­мым углом между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми B₁K и BM яв­ля­ет­ся угол BMC₁.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BCM по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем BM:

Ответ: