Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са и ци­лин­дра равен 3, так как диа­метр равен 6. Пусть H  — вы­со­та ко­ну­са, L  —  об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, а H₁  — вы­со­та ци­лин­дра. Так как пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са, рав­ная про­из­ве­де­нию ра­ди­у­са ос­но­ва­ния и вы­со­ты, равна 12, то вы­со­та ко­ну­са равна 6. Тогда об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 5, а зна­чит, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са Под­ста­вим: Так как R  =  3, то пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна а по усло­вию она равна S_б.к, зна­чит, H₁=2,5. Найдём объем ци­лин­дра: под­ста­вим и по­лу­чим, что объем ци­лин­дра равен

Ответ:

Пусть H  — вы­со­та ко­ну­са, а H₁  — вы­со­та ци­лин­дра. Из осе­во­го се­че­ния на­хо­дим, что тогда объем ко­ну­са равен а объем ци­лин­дра  —  Так как конус и ци­линдр имеют рав­ные объ­е­мы, то Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна:

Ответ:

Пло­щадь раз­верт­ки равна пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, то есть равна про­из­ве­де­нию сто­рон пря­мо­уголь­ной раз­вет­ки, а имен­но равна Тогда пра­виль­ный ответ б).

Ответ: б.

Пло­щадь раз­верт­ки равна пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, то есть равна про­из­ве­де­нию сто­рон пря­мо­уголь­ной раз­вет­ки, а имен­но равна Тогда пра­виль­ный ответ г).

Ответ: г.

Осе­вое се­че­ние ци­лин­дра  — это се­че­ние ци­лин­дра плос­ко­стью, ко­то­рая про­хо­дит через ось ци­лин­дра. Это се­че­ние яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. Сле­до­ва­тель­но, пра­виль­ный ответ  — г).

Ответ: г.

Пря­мо­уголь­ник AABB яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AAB ги­по­те­ну­за AB равна 10 см, синус угла ABA равен Най­дем длину ка­те­та AA₁:

Таким об­ра­зом, вы­со­та ци­лин­дра равна 6 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AA₁B:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен по­ло­ви­не ка­те­та AB, то есть 4 см. Вы­чис­лим объем ци­лин­дра:

Ответ: см³.

Пря­мо­уголь­ник AA₁BB₁ яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AAB ги­по­те­ну­за A₁B равна 13 см, ко­си­нус угла A₁BA равен Най­дем длину ка­те­та AB:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AA₁B:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен по­ло­ви­не ка­те­та AB, то есть 6 см. Вы­чис­лим объем ци­лин­дра:

Ответ: см³.

Так как ра­ди­ус ос­но­ва­ния по усло­вию равен 3, а об­ра­зу­ю­щая  — 5, то такой ци­линдр может быть по­лу­чен вра­ще­ни­ем во­круг одной из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка, ко­то­рый изоб­ражён на ри­сун­ке б).

Ответ: б).

Так как ра­ди­ус ос­но­ва­ния по усло­вию равен 2, а об­ра­зу­ю­щая  — 6, то такой ци­линдр может быть по­лу­чен вра­ще­ни­ем во­круг одной из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка, ко­то­рый изоб­ражён на ри­сун­ке г).

Ответ: г).

Се­че­ни­ем ци­лин­дра плос­ко­стью, па­рал­лель­ной его оси, яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник.

Ответ: г).

Пусть дан­ный ци­линдр изоб­ражён на ри­сун­ке (см. рис).

Пря­мо­уголь­ник ABCD  — се­че­ние, пло­щадь ко­то­ро­го не­об­хо­ди­мо найти. Ра­ди­ус окруж­но­сти ос­но­ва­ния AO, рас­сто­я­ние от оси ци­лин­дра до се­че­ния HO и хорда AD об­ра­зу­ют пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AHO. Найдём AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Хорда AD равна двум от­рез­кам AH, то есть 6 см. От­ре­зок AB и вы­со­та OO₁ равны как от­рез­ки пер­пен­ди­ку­ля­ров к двум па­рал­лель­ным плос­ко­стям, ле­жа­щие между ними. Найдём пло­щадь S пря­мо­уголь­ни­ка ABCD:

Ответ: 36 см².

Пусть дан­ный ци­линдр изоб­ражён на ри­сун­ке (см. рис).

Пря­мо­уголь­ник ABCD  — се­че­ние, пло­щадь ко­то­ро­го не­об­хо­ди­мо найти. Ра­ди­ус окруж­но­сти ос­но­ва­ния AO, рас­сто­я­ние от оси ци­лин­дра до се­че­ния HO и хорда AD об­ра­зу­ют пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AHO. Найдём AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Хорда AD равна двум от­рез­кам AH, то есть 10 см. От­ре­зок AB и вы­со­та OO₁ равны как от­рез­ки пер­пен­ди­ку­ля­ров к двум па­рал­лель­ным плос­ко­стям, ле­жа­щие между ними. Найдём вы­со­ту ци­лин­дра через пло­щадь S пря­мо­уголь­ни­ка ABCD:

Ответ: 8 см.

Раз­верт­кой бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник.

Ответ: в).

Ос­но­ва­ни­я­ми ци­лин­дра яв­ля­ют­ся два круга оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са.

Ответ: г).

Пря­мо­уголь­ни­ки ABCD и CMDN  — се­че­ния ци­лин­дра плос­ко­стя­ми, про­хо­дя­щи­ми через об­ра­зу­ю­щую CD. Пря­мые BC и CM лежат в плос­ко­сти верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а CD  — пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра. Зна­чит, Так как плос­ко­сти се­че­ний пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между ними. Зна­чит,

Так как пря­мо­уголь­ни­ки ABCD и CMDN равны по усло­вию и имеют общую сто­ро­ну CD, то BC  =  CM. Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник BCM, верх­нее ос­но­ва­ние ци­лин­дра опи­са­но во­круг этого тре­уголь­ни­ка, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Зная, что най­дем пло­щадь осе­во­го се­че­ния:

Ответ: 6 см².

Пря­мо­уголь­ни­ки ABCD и CMDN  — се­че­ния ци­лин­дра плос­ко­стя­ми, про­хо­дя­щи­ми через об­ра­зу­ю­щую CD. Пря­мые BC и CM лежат в плос­ко­сти верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а CD  — пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра. Зна­чит, Так как плос­ко­сти се­че­ний пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между ними. Зна­чит,

Так как пря­мо­уголь­ни­ки ABCD и CMDN равны по усло­вию и имеют общую сто­ро­ну CD, то BC  =  CM. Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник BCM, верх­нее ос­но­ва­ние ци­лин­дра опи­са­но во­круг этого тре­уголь­ни­ка, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Зная, что най­дем пло­щадь осе­во­го се­че­ния:

Ответ: 10 см².

Осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник, по­это­му пра­виль­ный ответ в).

Ответ: в).

Пусть ABCD  — квад­рат, па­рал­лель­ный оси O₁O₂, тогда ABCD  — ис­ко­мое се­че­ние. Тогда AB  =  AD  =  24, а DO₁  =  13. Про­ведём вы­со­ту O₁K в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке AO₁D, она же будет и ме­ди­а­ной. Найдём KO₁ в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AKO₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Зна­чит, се­че­ние на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 5 от оси ци­лин­дра.

Ответ: 5.

Пусть ABCD  — квад­рат, па­рал­лель­ный оси O₁O₂. Так как пло­щадь квад­ра­та равна 64, то его сто­ро­на равна 8, тогда AB  =  AD  =  8. Про­ведём вы­со­ту O₁K в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке AO₁D, она же будет и ме­ди­а­ной. Рас­то­я­ние от оси ци­лин­дра до плос­ко­сти се­че­ния равно KO₁, тогда KO₁  =  6, а AK  =  AD : 2  =  4. В тре­уголь­ни­ке AKO₁ найдём AO₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ:

По­сколь­ку одна сто­ро­на раз­верт­ки бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна вы­со­те, то дру­гая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка равна 3 см. Пло­щадь раз­верт­ки равна пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, то есть равна про­из­ве­де­нию сто­рон пря­мо­уголь­ной раз­верт­ки, а имен­но равна

Ответ: 15 см².