Ре­ше­ние. Так как сумма углов четырёхуголь­ни­ка равна 360°, то угол B равен 150°. Найдём CD в тре­уголь­ни­ке CBD по тео­ре­ме ко­си­ну­сов: Под­ста­вим и по­лу­чим, что Во­круг четырёхуголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность, так как суммы про­ти­во­по­лож­ных углов равны 180°. Из тре­уголь­ни­ка CBD найдём ра­ди­ус этой окруж­но­сти по тео­ре­ме си­ну­сов: По­сколь­ку угол ACB  — пря­мой, то он опи­ра­ет­ся на диа­метр, то есть

Ответ:

Ре­ше­ние. Так как сумма углов четырёхуголь­ни­ка равна 360°, то угол M равен 120°. Найдём CD в тре­уголь­ни­ке CMD по тео­ре­ме ко­си­ну­сов: Под­ста­вим и по­лу­чим, что Во­круг четырёхуголь­ни­ка ACMD можно опи­сать окруж­ность, так как суммы про­ти­во­по­лож­ных углов равны 180°. Из тре­уголь­ни­ка CMD найдём ра­ди­ус этой окруж­но­сти по тео­ре­ме си­ну­сов: По­сколь­ку угол ACM  — пря­мой, то он опи­ра­ет­ся на диа­метр, то есть

Ответ:

Ре­ше­ние. Се­че­ни­ем шара плос­ко­стью будет круг. Тогда AB  — ра­ди­ус круга, OB  — ра­ди­ус шара, а OA  — рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти се­че­ния. Пло­щадь се­че­ния шара счи­та­ет­ся по фор­му­ле тогда под­ста­вим и по­лу­чим, что Так как по усло­вию пло­щадь се­че­ния шара в во­семь раз мень­ше пло­щаи по­верх­но­сти, имеем: Тогда ра­ди­ус шара равен 5. Найдём OA по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Из кон­цов от­рез­ка AB опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры AD и BC на плос­кость (см. рис.). AD = 8,25 см, BC = 12,25 см. Про­ек­ция от­рез­ка AB на плос­кость  — от­ре­зок CD. Тра­пе­ция ABCD пря­мо­уголь­ная, тогда про­ведём AM пер­пен­ди­ку­ляр­но к CD, от­ку­да = 8,25 см, BM= 12,25 − 8,25 = 4 см. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AMB:

Таким об­ра­зом, = 3 см.

Ответ: 3 см.

Ре­ше­ние. Се­че­ни­ем шара плос­ко­стью будет круг. Тогда AB  — ра­ди­ус круга, OB  — ра­ди­ус шара, а OA  — рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти се­че­ния. Пло­щадь се­че­ния счи­та­ет­ся по фор­му­ле под­ста­вим и по­лу­чим, что пло­щадь се­че­ния равна Так как пло­щадь по­верх­но­сти шара в 16 раз боль­ше пло­ща­ди се­че­ния, то Тогда ра­ди­ус шара равен 4. Найдём OA по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ:

Ре­ше­ние. Про­ве­дем KO пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти Пусть MO  =  x, а OP  =  15 − x. Найдём KO по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, так как тре­уголь­ни­ки MKO и KOP пря­мо­уголь­ные, то есть:

Тогда MO  =  x  =  5. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём катет тре­уголь­ни­ка KMO: KO²  =  225 − 25  =  200, тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Про­ве­дем BH  — пер­пен­ди­ку­ляр к AC. Также, BM  — пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка ABC из усло­вия. Тогда по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах MH  — ор­то­го­наль к плос­ко­сти ABC. Сле­до­ва­тель­но, это и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABC. В нём Так как то от­ку­да по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Тогда:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке от­ку­да:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Ре­ше­ние. Се­че­ние шара плос­ко­стью  — круг. Рас­смот­рим пло­щадь круга и ис­поль­зу­ем дан­ные из усло­вия:

Расcмот­рим изоб­ра­же­ние. Имеем   — ра­ди­ус шара,   — ра­ди­ус круга. Про­ве­дем   — пер­пен­ди­ку­ляр из цен­тра шара к цен­тру круга. Это и будет ис­ко­мым рас­сто­я­ни­ем.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Из кон­цов от­рез­ка AB опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры AD и BC на плос­кость (см.рис.). AD = 3,5 м, BC = 6,5 м. Про­ек­ция от­рез­ка AB на плос­кость  — от­ре­зок CD = 4 м. Тра­пе­ция ABCD пря­мо­уголь­ная, тогда про­ведём AM пер­пен­ди­ку­ляр­но к BC, от­ку­да = 3,5 м, AM = CD = 4 м, BM = 3 м. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AMD:

Ответ: 5 м.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем AH пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти Пусть AB  =  5x, а AC  =  6x. При­чем, HC > BH, так как боль­шей про­ек­ции со­от­вет­ству­ет боль­шая на­клон­ная, по­это­му Найдём AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, так как тре­уголь­ни­ки ABH и ACH пря­мо­уголь­ные, то есть:

По смыс­лу за­да­чи x от­ри­ца­тель­ным быть не может, по­это­му он равен 1. Тогда AB  =  5x  =  5 · 1  =  5. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём катет тре­уголь­ни­ка ABH: ²  =  25 − 16  =  9, тогда AH  =  3.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем NH  — пер­пен­ди­ку­ляр к MP. Тогда по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах FH  — ор­то­го­наль к MP. Сле­до­ва­тель­но,

Рас­смот­рим тре­уголь­ник MNP. В нём Так как то от­ку­да по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Тогда:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке от­ку­да:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть ABCD  — квад­рат, па­рал­лель­ный оси O₁O₂, тогда ABCD  — ис­ко­мое се­че­ние. Тогда AB  =  AD  =  24, а DO₁  =  13. Про­ведём вы­со­ту O₁K в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке AO₁D, она же будет и ме­ди­а­ной. Найдём KO₁ в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AKO₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Зна­чит, се­че­ние на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 5 от оси ци­лин­дра.

Ответ: 5.