Так как в ос­но­ва­нии приз­мы рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник с из­вест­ной пло­ща­дью, най­дем сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка, вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой пло­ща­ди рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка: От­сю­да

Те­перь най­дем вы­со­ту TM(см.рис) по фор­му­ле от­ку­да

В тре­уголь­ни­ке TMK: так как   —

угол между ос­но­ва­ни­ем и плос­ко­стьюKSR. Зна­чит:

тогда:

В тре­уголь­ни­ке RMK по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

Тре­уголь­ник KRS рав­но­бед­рен­ный (), тогда

Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле

Ответ:

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са. По тео­ре­ме си­ну­сов Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOB вы­со­та ко­ну­са

По­лу­ча­ем объём ко­ну­са:

Ответ:

Так как сумма углов четырёхуголь­ни­ка равна 360°, то угол B равен 150°. Найдём CD в тре­уголь­ни­ке CBD по тео­ре­ме ко­си­ну­сов: Под­ста­вим и по­лу­чим, что Во­круг четырёхуголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность, так как суммы про­ти­во­по­лож­ных углов равны 180°. Из тре­уголь­ни­ка CBD найдём ра­ди­ус этой окруж­но­сти по тео­ре­ме си­ну­сов: По­сколь­ку угол ACB  — пря­мой, то он опи­ра­ет­ся на диа­метр, то есть

Ответ:

Так как сумма углов четырёхуголь­ни­ка равна 360°, то угол M равен 120°. Найдём CD в тре­уголь­ни­ке CMD по тео­ре­ме ко­си­ну­сов: Под­ста­вим и по­лу­чим, что Во­круг четырёхуголь­ни­ка ACMD можно опи­сать окруж­ность, так как суммы про­ти­во­по­лож­ных углов равны 180°. Из тре­уголь­ни­ка CMD найдём ра­ди­ус этой окруж­но­сти по тео­ре­ме си­ну­сов: По­сколь­ку угол ACM  — пря­мой, то он опи­ра­ет­ся на диа­метр, то есть

Ответ:

Тре­уголь­ник ACK  — се­ку­щая плос­кость приз­мы ABCA₁B₁C₁. По­стро­им угол между пря­мой BB₁ и плос­ко­стью ACK. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­дем вы­со­ту, она будет и ме­ди­а­ной и бис­сек­три­сой. За­ме­тим, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AKB и BKC равны по двум ка­те­там, зна­чит, AK  =  KC и тре­уголь­ник AKC  — рав­но­бед­рен­ный. Ме­ди­а­на KМ яв­ля­ет­ся вы­со­той, от­ку­да по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти KMB. В тре­уголь­ни­ке KMB про­ве­дем вы­со­ту BL. По­сколь­ку пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти KMB, то она пер­пен­ди­ку­ляр­на любой пря­мой в этой плос­ко­сти, то есть По­сколь­ку пря­мая BL пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC и пря­мой MK, то она пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти AKC. Зна­чит, пря­мая KM  — про­ек­ция пря­мой BB₁ на плос­кость AKC, сле­до­ва­тель­но, угол MKB  — это угол между пря­мой BB₁ и плос­ко­стью се­че­ния.

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC най­дем сто­ро­ну ос­но­ва­ния:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CKM по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем:

Таким об­ра­зом, зна­че­ние вы­ра­же­ния равно

Ответ: 49.

Тре­уголь­ник ACK  — се­ку­щая плос­кость приз­мы ABCA₁B₁C₁. По­стро­им угол между пря­мой BB₁ и плос­ко­стью ACK. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­дем вы­со­ту, она будет и ме­ди­а­ной и бис­сек­три­сой. За­ме­тим, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AKB и BKC равны по двум ка­те­там, зна­чит, AK  =  KC и тре­уголь­ник AKC  — рав­но­бед­рен­ный. Ме­ди­а­на KМ яв­ля­ет­ся вы­со­той, от­ку­да по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти KMB. В тре­уголь­ни­ке KMB про­ве­дем вы­со­ту BL. По­сколь­ку пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти KMB, то она пер­пен­ди­ку­ляр­на любой пря­мой в этой плос­ко­сти, то есть По­сколь­ку пря­мая BL пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC и пря­мой MK, то она пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти AKC. Зна­чит, пря­мая KM  — про­ек­ция пря­мой BB₁ на плос­кость AKC, сле­до­ва­тель­но, угол MKB  — это угол между пря­мой BB₁ и плос­ко­стью се­че­ния.

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC най­дем сто­ро­ну ос­но­ва­ния:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CKM по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем:

Таким об­ра­зом, зна­че­ние вы­ра­же­ния равно

Ответ: 18.

Так как сумма углов четырёхуголь­ни­ка равна 360°, то угол B равен 150°. Найдём CD в тре­уголь­ни­ке CMD по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Ответ: