Про­ве­дем AH пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти Пусть AB  =  5x, а AC  =  6x. При­чем, HC > BH, так как боль­шей про­ек­ции со­от­вет­ству­ет боль­шая на­клон­ная, по­это­му Найдём AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, так как тре­уголь­ни­ки ABH и ACH пря­мо­уголь­ные, то есть:

По смыс­лу за­да­чи x от­ри­ца­тель­ным быть не может, по­это­му он равен 1. Тогда AB  =  5x  =  5 · 1  =  5. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём катет тре­уголь­ни­ка ABH: ²  =  25 − 16  =  9, тогда AH  =  3.

Ответ: 3.

Про­ве­дем KO пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти Пусть MO  =  x, а OP  =  15 − x. Найдём KO по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, так как тре­уголь­ни­ки MKO и KOP пря­мо­уголь­ные, то есть:

Тогда MO  =  x  =  5. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём катет тре­уголь­ни­ка KMO: KO²  =  225 − 25  =  200, тогда

Ответ:

Се­че­ние шара плос­ко­стью  — круг. Так как длина линии пе­ре­се­че­ния сферы и се­ку­щей плос­ко­стью равна π см, то ра­ди­ус се­че­ния равен

По фор­му­ле найдём ра­ди­ус сферы:

Зна­чит,

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOB от­ре­зок Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Зна­чит, OA  =  1 см, тогда рас­сто­я­ние от цен­тра шара до се­ку­щей плос­ко­сти равно 1 см.

Ответ: 1 см.

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ABC  — пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, AC  — ги­по­те­ну­за. Се­че­ние шара плос­ко­стью ABC  — окруж­ность. Центр этой окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не ги­по­те­ну­зы AC, то есть По тео­ре­ме о се­че­нии шара плос­ко­стью от­ре­зок OK пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти се­че­ния, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник KOC яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным. Тогда OC (ра­ди­ус шара) равен

Объем шара равен

Ответ:

Се­че­ние шара плос­ко­стью  — круг. Рас­смот­рим пло­щадь круга и ис­поль­зу­ем дан­ные из усло­вия:

Расcмот­рим изоб­ра­же­ние. Имеем   — ра­ди­ус шара,   — ра­ди­ус круга. Про­ве­дем   — пер­пен­ди­ку­ляр из цен­тра шара к цен­тру круга. Это и будет ис­ко­мым рас­сто­я­ни­ем.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ем:

Ответ:

Расcмот­рим изоб­ра­же­ние. Про­ведём   — пер­пен­ди­ку­ляр из цен­тра шара к цен­тру круга. Имеем и   — центр круга.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ем:

Пло­щадь се­че­ния

Ответ:

Се­че­ни­ем шара плос­ко­стью будет круг. Тогда AB  — ра­ди­ус круга, OB  — ра­ди­ус шара, а OA  — рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти се­че­ния. Пло­щадь се­че­ния шара счи­та­ет­ся по фор­му­ле тогда под­ста­вим и по­лу­чим, что Так как по усло­вию пло­щадь се­че­ния шара в во­семь раз мень­ше пло­щаи по­верх­но­сти, имеем: Тогда ра­ди­ус шара равен 5. Найдём OA по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 5.

Се­че­ни­ем шара плос­ко­стью будет круг. Тогда AB  — ра­ди­ус круга, OB  — ра­ди­ус шара, а OA  — рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти се­че­ния. Пло­щадь се­че­ния счи­та­ет­ся по фор­му­ле под­ста­вим и по­лу­чим, что пло­щадь се­че­ния равна Так как пло­щадь по­верх­но­сти шара в 16 раз боль­ше пло­ща­ди се­че­ния, то Тогда ра­ди­ус шара равен 4. Найдём OA по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ:

От­ре­зок AH пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти α. Так как длина от­рез­ка AC боль­ше длины от­рез­ка AB, а боль­шей на­клон­ной со­от­вет­ству­ет боль­шая про­ек­ция, то длина от­рез­ка HC боль­ше длины от­рез­ка BH. Пусть длина HC равна 4x см, а длина BH равна 3x см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH: По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACH: Тогда:

Тогда длина BH равна 6 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABH:

Ответ: 8 см.