Про­ве­дем BH  — пер­пен­ди­ку­ляр к AC. Также, BM  — пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка ABC из усло­вия. Тогда по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах MH  — ор­то­го­наль к плос­ко­сти ABC. Сле­до­ва­тель­но, это и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABC. В нём Так как то от­ку­да по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Тогда:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке от­ку­да:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Про­ве­дем NH  — пер­пен­ди­ку­ляр к MP. Тогда по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах FH  — ор­то­го­наль к MP. Сле­до­ва­тель­но,

Рас­смот­рим тре­уголь­ник MNP. В нём Так как то от­ку­да по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Тогда:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке от­ку­да:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Так как сумма углов четырёхуголь­ни­ка равна 360°, то угол B равен 150°. Найдём CD в тре­уголь­ни­ке CBD по тео­ре­ме ко­си­ну­сов: Под­ста­вим и по­лу­чим, что Во­круг четырёхуголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность, так как суммы про­ти­во­по­лож­ных углов равны 180°. Из тре­уголь­ни­ка CBD найдём ра­ди­ус этой окруж­но­сти по тео­ре­ме си­ну­сов: По­сколь­ку угол ACB  — пря­мой, то он опи­ра­ет­ся на диа­метр, то есть

Ответ:

Так как сумма углов четырёхуголь­ни­ка равна 360°, то угол M равен 120°. Найдём CD в тре­уголь­ни­ке CMD по тео­ре­ме ко­си­ну­сов: Под­ста­вим и по­лу­чим, что Во­круг четырёхуголь­ни­ка ACMD можно опи­сать окруж­ность, так как суммы про­ти­во­по­лож­ных углов равны 180°. Из тре­уголь­ни­ка CMD найдём ра­ди­ус этой окруж­но­сти по тео­ре­ме си­ну­сов: По­сколь­ку угол ACM  — пря­мой, то он опи­ра­ет­ся на диа­метр, то есть

Ответ:

Так как сумма углов четырёхуголь­ни­ка равна 360°, то угол B равен 150°. Найдём CD в тре­уголь­ни­ке CMD по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Ответ: