Так как в ос­но­ва­нии приз­мы рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник с из­вест­ной пло­ща­дью, най­дем сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка, вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой пло­ща­ди рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка: От­сю­да

Те­перь най­дем вы­со­ту TM(см.рис) по фор­му­ле от­ку­да

В тре­уголь­ни­ке TMK: так как   —

угол между ос­но­ва­ни­ем и плос­ко­стьюKSR. Зна­чит:

тогда:

В тре­уголь­ни­ке RMK по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

Тре­уголь­ник KRS рав­но­бед­рен­ный (), тогда

Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле

Ответ:

Ис­поль­зуя фор­му­лу вы­со­ты ос­но­ва­ния, най­дем сто­ро­ну ос­но­ва­ния:

Так как а (так как это угол между ос­но­ва­ни­ем и пло­ко­стью AKB). Тогда а также Зная это, най­дем

По­сколь­ку

Ответ:

Так как дан­ная приз­ма пра­виль­ная, то в ее ос­но­ва­ни­ях лежат пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки. Най­дем длину сто­рон ос­но­ва­ния по фор­му­ле

Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния по фор­му­ле пло­ща­ди для пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков

Так как то Тогда имеем:

Ответ: 3.

Так как то

В ос­но­ва­ни­ях пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы лежат пра­виль­ные мно­го­уголь­ни­ки, най­дем их сто­ро­ны с по­мо­щью фор­му­лы пло­ща­ди для пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков

По­сколь­ку то

Ответ:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABP катет AB лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, по­это­му он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, то есть Дру­гой катет этого тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равен 6.

Найдём пло­щадь S пол­ной по­верх­но­сти приз­мы. Её со­став­ля­ет пло­щадь рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка CBE со сто­ро­ной (AB = BC, так как на ри­сун­ке дана раз­верт­ка), взя­тая два­жды, и пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми и 6, взя­тая три­жды. Имеем:

Ответ:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABP катет AB лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, по­это­му он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, то есть Дру­гой катет этого тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равен 3.

Найдём пло­щадь S пол­ной по­верх­но­сти приз­мы. Её со­став­ля­ет пло­щадь рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка CBE со сто­ро­ной (AB = BC, так как на ри­сун­ке дана раз­верт­ка), взя­тая два­жды, и пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми и 3, взя­тая три­жды. Имеем:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Ос­но­ва­ние приз­мы  — пра­виль­ный тре­уголь­ник, чья вы­со­та AM, яв­ля­ю­ща­я­ся также ме­ди­а­ной, а зна­чит, и про­ек­ци­ей AM в плос­кость ос­но­ва­ния, равна то есть Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AMA₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём вы­со­ту приз­мы, а затем умно­жим её на пло­щадь ос­но­ва­ния, ко­то­рую найдём по фор­му­ле

Ответ:

Тре­уголь­ник ACK  — се­ку­щая плос­кость приз­мы ABCA₁B₁C₁. По­стро­им угол между пря­мой BB₁ и плос­ко­стью ACK. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­дем вы­со­ту, она будет и ме­ди­а­ной и бис­сек­три­сой. За­ме­тим, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AKB и BKC равны по двум ка­те­там, зна­чит, AK  =  KC и тре­уголь­ник AKC  — рав­но­бед­рен­ный. Ме­ди­а­на KМ яв­ля­ет­ся вы­со­той, от­ку­да по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти KMB. В тре­уголь­ни­ке KMB про­ве­дем вы­со­ту BL. По­сколь­ку пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти KMB, то она пер­пен­ди­ку­ляр­на любой пря­мой в этой плос­ко­сти, то есть По­сколь­ку пря­мая BL пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC и пря­мой MK, то она пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти AKC. Зна­чит, пря­мая KM  — про­ек­ция пря­мой BB₁ на плос­кость AKC, сле­до­ва­тель­но, угол MKB  — это угол между пря­мой BB₁ и плос­ко­стью се­че­ния.

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC най­дем сто­ро­ну ос­но­ва­ния:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CKM по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем:

Таким об­ра­зом, зна­че­ние вы­ра­же­ния равно

Ответ: 49.

Тре­уголь­ник ACK  — се­ку­щая плос­кость приз­мы ABCA₁B₁C₁. По­стро­им угол между пря­мой BB₁ и плос­ко­стью ACK. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­дем вы­со­ту, она будет и ме­ди­а­ной и бис­сек­три­сой. За­ме­тим, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AKB и BKC равны по двум ка­те­там, зна­чит, AK  =  KC и тре­уголь­ник AKC  — рав­но­бед­рен­ный. Ме­ди­а­на KМ яв­ля­ет­ся вы­со­той, от­ку­да по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти KMB. В тре­уголь­ни­ке KMB про­ве­дем вы­со­ту BL. По­сколь­ку пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти KMB, то она пер­пен­ди­ку­ляр­на любой пря­мой в этой плос­ко­сти, то есть По­сколь­ку пря­мая BL пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC и пря­мой MK, то она пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти AKC. Зна­чит, пря­мая KM  — про­ек­ция пря­мой BB₁ на плос­кость AKC, сле­до­ва­тель­но, угол MKB  — это угол между пря­мой BB₁ и плос­ко­стью се­че­ния.

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC най­дем сто­ро­ну ос­но­ва­ния:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CKM по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем:

Таким об­ра­зом, зна­че­ние вы­ра­же­ния равно

Ответ: 18.