Се­че­ни­ем ци­лин­дра плос­ко­стью, па­рал­лель­ной его оси, яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник.

Ответ: г).

Пусть дан­ный ци­линдр изоб­ражён на ри­сун­ке (см. рис).

Пря­мо­уголь­ник ABCD  — се­че­ние, пло­щадь ко­то­ро­го не­об­хо­ди­мо найти. Ра­ди­ус окруж­но­сти ос­но­ва­ния AO, рас­сто­я­ние от оси ци­лин­дра до се­че­ния HO и хорда AD об­ра­зу­ют пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AHO. Найдём AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Хорда AD равна двум от­рез­кам AH, то есть 6 см. От­ре­зок AB и вы­со­та OO₁ равны как от­рез­ки пер­пен­ди­ку­ля­ров к двум па­рал­лель­ным плос­ко­стям, ле­жа­щие между ними. Найдём пло­щадь S пря­мо­уголь­ни­ка ABCD:

Ответ: 36 см².

Пусть дан­ный ци­линдр изоб­ражён на ри­сун­ке (см. рис).

Пря­мо­уголь­ник ABCD  — се­че­ние, пло­щадь ко­то­ро­го не­об­хо­ди­мо найти. Ра­ди­ус окруж­но­сти ос­но­ва­ния AO, рас­сто­я­ние от оси ци­лин­дра до се­че­ния HO и хорда AD об­ра­зу­ют пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AHO. Найдём AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Хорда AD равна двум от­рез­кам AH, то есть 10 см. От­ре­зок AB и вы­со­та OO₁ равны как от­рез­ки пер­пен­ди­ку­ля­ров к двум па­рал­лель­ным плос­ко­стям, ле­жа­щие между ними. Найдём вы­со­ту ци­лин­дра через пло­щадь S пря­мо­уголь­ни­ка ABCD:

Ответ: 8 см.

Пря­мо­уголь­ни­ки ABCD и CMDN  — се­че­ния ци­лин­дра плос­ко­стя­ми, про­хо­дя­щи­ми через об­ра­зу­ю­щую CD. Пря­мые BC и CM лежат в плос­ко­сти верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а CD  — пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра. Зна­чит, Так как плос­ко­сти се­че­ний пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между ними. Зна­чит,

Так как пря­мо­уголь­ни­ки ABCD и CMDN равны по усло­вию и имеют общую сто­ро­ну CD, то BC  =  CM. Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник BCM, верх­нее ос­но­ва­ние ци­лин­дра опи­са­но во­круг этого тре­уголь­ни­ка, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Зная, что най­дем пло­щадь осе­во­го се­че­ния:

Ответ: 6 см².

Пря­мо­уголь­ни­ки ABCD и CMDN  — се­че­ния ци­лин­дра плос­ко­стя­ми, про­хо­дя­щи­ми через об­ра­зу­ю­щую CD. Пря­мые BC и CM лежат в плос­ко­сти верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а CD  — пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра. Зна­чит, Так как плос­ко­сти се­че­ний пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между ними. Зна­чит,

Так как пря­мо­уголь­ни­ки ABCD и CMDN равны по усло­вию и имеют общую сто­ро­ну CD, то BC  =  CM. Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник BCM, верх­нее ос­но­ва­ние ци­лин­дра опи­са­но во­круг этого тре­уголь­ни­ка, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Зная, что най­дем пло­щадь осе­во­го се­че­ния:

Ответ: 10 см².

Пусть ABCD  — квад­рат, па­рал­лель­ный оси O₁O₂, тогда ABCD  — ис­ко­мое се­че­ние. Тогда AB  =  AD  =  24, а DO₁  =  13. Про­ведём вы­со­ту O₁K в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке AO₁D, она же будет и ме­ди­а­ной. Найдём KO₁ в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AKO₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Зна­чит, се­че­ние на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 5 от оси ци­лин­дра.

Ответ: 5.

Пусть ABCD  — квад­рат, па­рал­лель­ный оси O₁O₂. Так как пло­щадь квад­ра­та равна 64, то его сто­ро­на равна 8, тогда AB  =  AD  =  8. Про­ведём вы­со­ту O₁K в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке AO₁D, она же будет и ме­ди­а­ной. Рас­то­я­ние от оси ци­лин­дра до плос­ко­сти се­че­ния равно KO₁, тогда KO₁  =  6, а AK  =  AD : 2  =  4. В тре­уголь­ни­ке AKO₁ найдём AO₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ:

Пусть PABC  — пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да. Точка K  — се­ре­ди­на ребра PC. Нуж­ное се­че­ние  — тре­уголь­ник AKB. По­сколь­ку плос­кость AKB пер­пен­ди­ку­ляр­на бо­ко­во­му ребру PC, то пря­мая BK пер­пен­ди­ку­ляр­на бо­ко­во­му ребру PC. От­ре­зок BK  — вы­со­та и ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка PBC, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник PBC яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным. Бо­ко­вые ребра в пра­виль­ной пи­ра­ми­де равны, то есть сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник PBC  — рав­но­сто­рон­ний, а зна­чит, все грани пра­виль­ной пи­ра­ми­ды PABC  — рав­ные рав­но­сто­рон­ние тре­уголь­ни­ки.

Пло­ща­ди гра­ней пи­ра­ми­ды равны Най­дем сто­ро­ну BC:

Ответ:

Пусть PABC  — пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да. Точка K  — се­ре­ди­на ребра PC. Нуж­ное се­че­ние  — тре­уголь­ник AKB. По­сколь­ку плос­кость AKB пер­пен­ди­ку­ляр­на бо­ко­во­му ребру PC, то пря­мая BK пер­пен­ди­ку­ляр­на бо­ко­во­му ребру PC. От­ре­зок BK  — вы­со­та и ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка PBC, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник PBC яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным. Бо­ко­вые ребра в пра­виль­ной пи­ра­ми­де равны, то есть сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник PBC  — рав­но­сто­рон­ний, а зна­чит, все грани пра­виль­ной пи­ра­ми­ды PABC  — рав­ные рав­но­сто­рон­ние тре­уголь­ни­ки.

Пло­ща­ди гра­ней пи­ра­ми­ды равны Най­дем сто­ро­ну BC:

Ответ:

Со­глас­но усло­вию, пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 250π, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 200π. Тогда пло­щадь ос­но­ва­ния равна по­лу­раз­но­сти пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра и пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти, то есть 25π. Пло­щадь ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна от­ку­да r  =  5. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна от­ку­да h  =  20. Осью ци­лин­дра яв­ля­ет­ся от­ре­зок O₁O₂, ис­ко­мое се­че­ние  — пря­мо­уголь­ник ABCD. Плос­кость ABC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­стям ос­но­ва­ний ци­лин­дра. В тре­уголь­ни­ке CO₁B опу­стим вы­со­ту O₁K. Так как плос­кость ABC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра, пря­мая O₁K пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, от­ре­зок O₁K яв­ля­ет­ся рас­сто­я­ни­ем от оси ци­лин­дра до плос­ко­сти се­че­ния. Тре­уголь­ник CO₁B яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, так как его сто­ро­ны CO₁ и O₁B яв­ля­ют­ся ра­ди­у­са­ми одной окруж­но­сти. Про­ве­ден­ная вы­со­та O₁K по свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, таким об­ра­зом, от­рез­ки BK и KC равны. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке O₁KC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

тогда длина BC равна 8. Длины об­ра­зу­ю­щий ци­лин­дра равны его вы­со­те, от­ку­да CD  =  20. Най­дем пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ABCD:

Ответ: 160.

Со­глас­но усло­вию, пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 600π, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 400π. Тогда пло­щадь ос­но­ва­ния равна по­лу­раз­но­сти пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра и пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти, то есть 100π. Пло­щадь ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна от­ку­да r  =  10. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна от­ку­да h  =  20. Осью ци­лин­дра яв­ля­ет­ся от­ре­зок O₁O₂, ис­ко­мое се­че­ние  — пря­мо­уголь­ник ABCD. Плос­кость ABC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­стям ос­но­ва­ний ци­лин­дра. В тре­уголь­ни­ке CO₁B опу­стим вы­со­ту O₁K. Так как плос­кость ABC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра, пря­мая O₁K пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, от­ре­зок O₁K яв­ля­ет­ся рас­сто­я­ни­ем от оси ци­лин­дра до плос­ко­сти се­че­ния. Тре­уголь­ник CO₁B яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, так как его сто­ро­ны CO₁ и O₁B яв­ля­ют­ся ра­ди­у­са­ми одной окруж­но­сти. Про­ве­ден­ная вы­со­та O₁K по свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, таким об­ра­зом, от­рез­ки BK и KC равны. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке O₁KC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

тогда длина BC равна 16. Длины об­ра­зу­ю­щий ци­лин­дра равны его вы­со­те, от­ку­да CD  =  20. Най­дем пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ABCD:

Ответ: 320.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC, бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны между собой. Про­ве­дем от­рез­ки AM и MK, пря­мые MK и SB па­рал­лель­ны. При­ме­нив тео­ре­му Фа­ле­са, по­лу­ча­ем, что BK  =  KC. Пря­мые SB и MK па­рал­лель­ны, пря­мая MK лежит в плос­ко­сти AMK, тогда пря­мая SB па­рал­лель­на плос­ко­сти AMK. Тре­уголь­ник AMK яв­ля­ет­ся ис­ко­мым се­че­ни­ем. Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний, длина его сто­ро­ны равна 6. Про­ве­дем ме­ди­а­ну AK, она яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и вы­со­той. Так как BC  =  6, BK  =  3. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABK:

Тре­уголь­ни­ки SCB и MKC по­доб­ны, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен 2, При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ASC:

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ASM:

Таким об­ра­зом, из­вест­ны длины всех сто­рон тре­уголь­ни­ка AMK: AM  =  5,5, MK  =  3,5, Наи­боль­шей сто­ро­ной яв­ля­ет­ся сто­ро­на AM, ее длина равна 5,5.

Ответ: 5,5.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC, бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны между собой. Про­ве­дем от­рез­ки AM и MK, пря­мые MK и SC па­рал­лель­ны. При­ме­нив тео­ре­му Фа­ле­са, по­лу­ча­ем, что BK  =  KC. Пря­мые SC и MK па­рал­лель­ны, пря­мая MK лежит в плос­ко­сти AMK, тогда пря­мая SC па­рал­лель­на плос­ко­сти AMK. Тре­уголь­ник AMK яв­ля­ет­ся ис­ко­мым се­че­ни­ем. Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний, длина его сто­ро­ны равна 8. Про­ве­дем ме­ди­а­ну AK, она яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и вы­со­той. Так как BC  =  8, BK  =  4. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABK:

Тре­уголь­ни­ки SCB и BMK по­доб­ны, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен 2, тогда При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABS:

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ASM:

Таким об­ра­зом, из­вест­ны длины всех сто­рон тре­уголь­ни­ка AMK: AM  =  9, MK  =  7, Наи­мень­шей сто­ро­ной яв­ля­ет­ся сто­ро­на AK, ее длина равна

Ответ: