Пря­мые и MN  — скре­щи­ва­ю­щи­е­ся. Пра­виль­ный ответ ука­зан в пунк­те г).

Ответ: г).

Рас­смот­рим все пред­ло­жен­ные утвер­жде­ния:

а)  куб яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным па­рал­ле­ле­пи­пе­дом  — верно;

б)  ребра куба, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, имеют раз­ную длину  — не­вер­но, все рёбра куба равны;

в)  объем куба можно найти по фор­му­ле где a  — длина ребра куба  — верно;

г)  у куба все грани равны  — верно.

Не­вер­ным яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние б).

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой б).

Рас­смот­рим все пред­ло­жен­ные утвер­жде­ния:

а)  пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти куба можно найти по фор­му­ле где a  — длина ребра куба  — верно;

б)  у куба все ребра равны  — верно;

в)  смеж­ные грани куба не равны  — не­вер­но, у куба равны все грани;

г)  куб яв­ля­ет­ся пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мой  — верно.

Не­вер­ным яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние в).

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой в).

Рас­смот­рим че­ты­рех­уголь­ник AA₁CC₁:

а)  AA₁||CC₁ и AA₁  =  CC₁ как па­рал­лель­ные ребра куба ABCDA₁B₁C₁D₁

б)  A₁C₁||AC и A₁C₁  =  AC как диа­го­на­ли рав­ных гра­ней куба ABCDA₁B₁C₁D₁

в)  Так как ABCDA₁B₁C₁D₁  — куб, то ABCD  — квад­рат, AC  — его диа­го­наль. Диа­го­наль квад­ра­та не может быть равна его сто­ро­не, а зна­чит, AC AA₁.

Тогда че­ты­рех­уголь­ник AA₁CC₁ яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. Зна­чит, вер­ный ответ ука­зан под бук­вой в).

Ответ: в).

Рас­смот­рим че­ты­рех­уголь­ник NN₁P₁P₁:

а)  NN₁||PP₁ и NN₁  =  PP₁ как па­рал­лель­ные ребра куба MNKPM₁N₁K₁P₁

б)  N₁P₁||NP и N₁P₁  =  NP как диа­го­на­ли рав­ных гра­ней куба MNKPM₁N₁K₁P₁

в)  Так как MNKPM₁N₁K₁P₁  — куб, то MNKP  — квад­рат, NP  — его диа­го­наль. Диа­го­наль квад­ра­та не может быть равна его сто­ро­не, а зна­чит, NP PP₁.

Тогда че­ты­рех­уголь­ник NN₁P₁P₁ яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. Зна­чит, вер­ный ответ ука­зан под бук­вой г).

Ответ: г).

По­стро­им се­че­ние куба плос­ко­стью. Най­дем пе­ри­метр се­че­ния:

Ответ:

По­стро­им се­че­ние куба плос­ко­стью:

Най­дем пе­ри­метр се­че­ния:

Ответ:

Зная, что V_куба = a³, по­лу­ча­ем , что ребро равно см.

Ответ: б

При­мем за х ребро пер­во­го куба, тогда объем этого куба равен х³. Диа­го­наль вто­ро­го куба равна х, тогда его ребро равно а объем равен Най­дем от­но­ше­ние объ­е­мов:

Ответ:

При­мем за х ребро пер­во­го куба, тогда объем этого куба равен х³. Диа­го­наль грани вто­ро­го куба равна х, тогда его ребро равно а объем равен Най­дем от­но­ше­ние объ­е­мов:

Ответ:

Пусть ребро куба равно a, тогда пло­щадь одной грани равна a², а пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти  — 6a². Най­дем ребро куба:

Ответ: 125 см³.

Пусть ребро куба равно a, тогда пло­щадь одной грани равна a², а пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти  — 6a². Най­дем ребро куба:

Ответ: 64 см³.

Се­че­ние куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью BB₁D яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник.

Ответ: в).

Се­че­ни­ем куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью A₁BD яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник.

Ответ: а).

Пусть ребро куба равно a. По­сколь­ку пря­мые B₁K и BM не пе­ре­се­ка­ют­ся и лежат в раз­ных плос­ко­стях, они яв­ля­ют­ся скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся. За­ме­тим, что от­ре­зок KM па­рал­ле­лен и равен пря­мой BC, зна­чит, КM па­рал­ле­лен и равен пря­мой B₁C₁. Тогда по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма че­ты­рех­уголь­ник KB₁C₁M  — па­рал­ле­ло­грамм. Сле­до­ва­тель­но, от­рез­ки C₁M и B₁K па­рал­лель­ны. Ис­ко­мым углом между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми B₁K и BM яв­ля­ет­ся угол BMC₁.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BCM по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем BM:

Ответ:

Пря­мые B₁C и MN яв­ля­ют­ся скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся.

Ответ: в).

Пря­мые A₁B и MN яв­ля­ют­ся скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся.

Ответ: г).

От­ре­зок AB₁  — диа­го­наль квад­ра­та AA₁B₁B, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет пря­мую A₁D₁ в точке L. Пря­мая B₁L пе­ре­се­ка­ет ребро куба D₁C₁ в точке N. По­стро­им от­ре­зок KN, по­лу­ча­ем, что ис­ко­мым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся че­ты­рех­уголь­ник B₁NKA. Плос­ко­сти A₁AB и D₁DC па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, пря­мые AB₁ и KN, со­дер­жа­щи­е­ся в дан­ных плос­ко­стях, также па­рал­лель­ны. Че­ты­рех­уголь­ник B₁NKA яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки LD₁K и ADK равны по ка­те­ту и остро­му углу, сле­до­ва­тель­но, их ка­те­ты LD₁ и AD равны, их длины равны 2. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки LD₁N и B₁C₁N равны по ка­те­ту и остро­му углу, сле­до­ва­тель­но, их ка­те­ты D₁N и NC₁ равны, их длины равны 1. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ADK и B₁C₁N равны по двум ка­те­там, сле­до­ва­тель­но, их ги­по­те­ну­зы AK и B₁N равны, сле­до­ва­тель­но, тра­пе­ция B₁NKA яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁B₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KD₁N:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ADK по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

В тра­пе­ции B₁NKA опу­стим вы­со­ты KF и NH. Длины от­рез­ков HF и NK равны Длина ос­но­ва­ния тра­пе­ции AB₁ равна в силу ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков B₁NH и AKF длины от­рез­ков HB₁ и AF равны и равны В тре­уголь­ни­ке AKF по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции B₁NKA:

Ответ: 4,5.

От­ре­зок AC  — диа­го­наль ос­но­ва­ния куба, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет пря­мую DD₁ в точке L. Пря­мая CL пе­ре­се­ка­ет ребро куба D₁C₁ в точке N. Про­ве­дем от­ре­зок KN, ис­ко­мое се­че­ние  — че­ты­рех­уголь­ник AKNC. Так как плос­ко­сти ABC и A₁B₁C₁ па­рал­лель­ны, пря­мые AC и KN па­рал­лель­ны. Че­ты­рех­уголь­ник AKNC  — тра­пе­ция. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AA₁K и LD₁K равны по ка­те­ту и остро­му углу, тогда от­рез­ки LD₁ и AA₁ равны, их длины равны 4. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки CC₁N и LD₁N равны по ка­те­ту и про­ти­во­ле­жа­ще­му остро­му углу. Тогда от­рез­ки D₁N и NC₁ равны, их длины равны 2. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AA₁K и CC₁N равны по двум ка­те­там, от­сю­да сле­ду­ет ра­вен­ство от­рез­ков AK и CN. Таким об­ра­зом, тра­пе­ция AKNC яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KD₁N по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ADC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁K по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

В тра­пе­ции AKNC опу­стим вы­со­ты NF и KH. Длины от­рез­ков KN и HF равны Так как длина от­рез­ка AC равна а длина HF равна сумма длин от­рез­ков AH и FC равна В силу ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков AKH и FNC от­рез­ки AH и FC равны, их длины равны По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AKH:

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции AKNC:

Ответ: 18.