Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са и ци­лин­дра равен 3, так как диа­метр равен 6. Пусть H  — вы­со­та ко­ну­са, L  —  об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, а H₁  — вы­со­та ци­лин­дра. Так как пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са, рав­ная про­из­ве­де­нию ра­ди­у­са ос­но­ва­ния и вы­со­ты, равна 12, то вы­со­та ко­ну­са равна 6. Тогда об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 5, а зна­чит, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са Под­ста­вим: Так как R  =  3, то пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна а по усло­вию она равна S_б.к, зна­чит, H₁=2,5. Найдём объем ци­лин­дра: под­ста­вим и по­лу­чим, что объем ци­лин­дра равен

Ответ:

Пусть H  — вы­со­та ко­ну­са, а H₁  — вы­со­та ци­лин­дра. Из осе­во­го се­че­ния на­хо­дим, что тогда объем ко­ну­са равен а объем ци­лин­дра  —  Так как конус и ци­линдр имеют рав­ные объ­е­мы, то Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна:

Ответ:

Так как в ос­но­ва­нии приз­мы рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник с из­вест­ной пло­ща­дью, най­дем сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка, вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой пло­ща­ди рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка: От­сю­да

Те­перь най­дем вы­со­ту TM(см.рис) по фор­му­ле от­ку­да

В тре­уголь­ни­ке TMK: так как   —

угол между ос­но­ва­ни­ем и плос­ко­стьюKSR. Зна­чит:

тогда:

В тре­уголь­ни­ке RMK по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

Тре­уголь­ник KRS рав­но­бед­рен­ный (), тогда

Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле

Ответ:

Ис­поль­зуя фор­му­лу вы­со­ты ос­но­ва­ния, най­дем сто­ро­ну ос­но­ва­ния:

Так как а (так как это угол между ос­но­ва­ни­ем и пло­ко­стью AKB). Тогда а также Зная это, най­дем

По­сколь­ку

Ответ:

Про­ведём CH  — вы­со­ту в тре­уголь­ни­ке ABC. По тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах С₁H пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой AB. Угол C₁HC  — ис­ко­мый, так как он яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. От­ре­зок CH яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, по­сколь­ку тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный и пря­мо­уголь­ный, а зна­чит Найдём тан­генс угла C₁HC: Под­ста­вим и по­лу­чим, что тогда угол C₁HC равен 30°.

Ответ: 30°.

Про­ведём CH  — вы­со­ту в тре­уголь­ни­ке ABC. По тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах H пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой AB. Угол C₁HC  =  60°, так как он яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. От­ре­зок CH яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, по­сколь­ку тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный и пря­мо­уголь­ный. Найдём CH через тан­генс угла CHC: Под­ста­вим и по­лу­чим, что тогда так как HC  — ме­ди­а­на.

Ответ:

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC, AB  =  4 см, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем BH:

Най­дем объем ко­ну­са:

Ответ:

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC. AB = 2 см, r = AH = HC = 1 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем BH:

Най­дем объем ко­ну­са:

Ответ: см³.

Если осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен по­ло­ви­не длины сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка. Тогда

Ответ:

Если осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен по­ло­ви­не длины сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка. Тогда

Ответ:

Все грани этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ют­ся рав­но­сто­рон­ни­ми тре­уголь­ни­ка­ми. Пря­мая SM яв­ля­ет­ся апо­фе­мой, SK : KM  =  2 1. Тре­уголь­ник BNC  — ис­ко­мое се­че­ние. Так как тре­уголь­ник ASB  — рав­но­сто­рон­ний, а SM  — апо­фе­ма, то SM яв­ля­ет­ся и ме­ди­а­ной, тогда BN тоже ме­ди­а­на, так как BN пе­ре­се­ка­ет­ся с SM в точке K, ко­то­рая делит SM в от­но­ше­нии 2 : 1. А зна­чит, что Тре­уголь­ник BNC  — рав­но­бед­рен­ный, так как BN и NC  — рав­ные ме­ди­а­ны рав­ных тре­уголь­ни­ков. Из тре­уголь­ни­ка CBN про­ведём вы­со­ту NE на сто­ро­ну CB, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Найдём пло­щадь се­че­ния:

Ответ:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти найдём по фор­му­ле: Имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой б).

Ответ: б).

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти найдём по фор­му­ле: Имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой а).

Ответ: а).

По усло­вию AB = 6 см, AS = 12 см. Угол MON  — 60°, тогда тре­уголь­ник MNS  — се­че­ние. Тре­уголь­ник MON рав­но­сто­рон­ний, так как OM = ON, угол MON = 60°. Зна­чит, MN = 3 см. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка MSN можно найти по фор­му­ле Ге­ро­на:

Ответ:

По усло­вию угол В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке MON про­ве­дем бис­сек­три­су OK. Сто­ро­на

Осе­вое се­че­ние яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ни­ком, сле­до­ва­тель­но, об­ра­зу­ю­щая

Сто­ро­ны NS и MS равны, по­это­му по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра вы­со­та

Тогда пло­щадь се­че­ния равна

Ответ:

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD. Ис­ко­мым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник BKD. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

В рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ках DSC и BSC от­рез­ки DK и BK яв­ля­ют­ся ме­ди­а­на­ми и вы­со­та­ми, тогда длины от­рез­ков SK и KC равны 3 см. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке DKC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BSK:

Тре­уголь­ник BKD яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, так как от­рез­ки DK и BK равны. От­ре­зок KO яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и вы­со­той в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке BKD, тогда длина от­рез­ка BO равна по­ло­ви­не длины от­рез­ка BD и равна По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KOD:

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKD:

Ответ:

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD. Ис­ко­мым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник AMC. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ADC:

В рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ках ASB и SCB от­рез­ки AM и CM яв­ля­ют­ся ме­ди­а­на­ми и вы­со­та­ми, тогда от­рез­ки SM и MB равны 2 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ASM:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SMC:

Тре­уголь­ник AMC яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, так как от­рез­ки AM и CM равны. От­ре­зок MO яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и вы­со­той в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке AMC, тогда длина AO равна по­ло­ви­не длины AC и равна По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOM:

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMC:

Ответ: