Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Про­ведём вы­со­ту CN. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ACN в нашем слу­чае, AN  =  AD − (AD − BC) : 2, то есть

Те­перь по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CND найдём бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции, ко­то­рая, так как бо­ко­вые грани приз­мы яв­ля­ют­ся квад­ра­та­ми, будет равна вы­со­те приз­мы:

Пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна сумме пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти и пло­ща­дей ос­но­ва­ний. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти можно найти, умно­жив вы­со­ту на пе­ри­метр ос­но­ва­ния, тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти равна

Объём приз­мы равен про­из­ве­де­нию вы­со­ты на пло­щадь ос­но­ва­ния, в нашем слу­чае

Ответ: 788, 1404.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Про­ведём вы­со­ту CN. Пусть AD  =  a, BC  =  b, AC  =  c, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ACN:

Далее по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке CND:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равен про­из­вед­нию пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на вы­со­ту, в нашем слу­чае

За­ме­тим, что бо­ко­вые грани и диа­го­наль­ное се­че­ние  — пря­мо­уголь­ни­ки, зна­чит, их пло­ща­ди равны ah, bh и dh со­от­вет­ствен­но, тем самым

Ответ: 928.

Про­ведём CH  — вы­со­ту в тре­уголь­ни­ке ABC. По тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах С₁H пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой AB. Угол C₁HC  — ис­ко­мый, так как он яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. От­ре­зок CH яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, по­сколь­ку тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный и пря­мо­уголь­ный, а зна­чит Найдём тан­генс угла C₁HC: Под­ста­вим и по­лу­чим, что тогда угол C₁HC равен 30°.

Ответ: 30°.

Про­ведём CH  — вы­со­ту в тре­уголь­ни­ке ABC. По тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах H пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой AB. Угол C₁HC  =  60°, так как он яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. От­ре­зок CH яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, по­сколь­ку тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный и пря­мо­уголь­ный. Найдём CH через тан­генс угла CHC: Под­ста­вим и по­лу­чим, что тогда так как HC  — ме­ди­а­на.

Ответ:

Тре­уголь­ни­ки AA₁C и BB₁D пря­мо­уголь­ные. Тогда

Пло­щадь ос­но­ва­ния равна

Зна­чит, объем равен

Ответ: 128 см³.

Тре­уголь­ни­ки AA₁C и BB₁D пря­мо­уголь­ные. Тогда

Пло­щадь ос­но­ва­ния равна

Зна­чит, объем равен

Ответ:

Скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся на­зы­ва­ют пря­мые, не па­рал­лель­ные и не ле­жа­щие в одной плос­ко­сти. Пря­мые AB, B₁C₁ лежат в одной плос­ко­сти с дан­ной. Остав­ши­е­ся пря­мые яв­ля­ют­ся скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся, так как не па­рал­лель­ны пря­мой A₁B₁.

Ответ: в), г).

Скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся на­зы­ва­ют пря­мые, не па­рал­лель­ные и не ле­жа­щие в одной плос­ко­сти. Пря­мые BD, D₁C₁ лежат в одной плос­ко­сти с дан­ной. Остав­ши­е­ся пря­мые яв­ля­ют­ся скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся, так как не па­рал­лель­ны пря­мой CD.

Ответ: а), г).

По тео­ре­ме диа­го­на­ли ромба вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны OD пер­пен­ди­ку­ляр­но AC. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах OD₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но AC, сле­до­ва­тель­но, OD₁  =  13 см.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем OD из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ODD₁:

По свой­ству ромба BD  =  2OD, тогда BD  =  10 см.

Так как ABCD ромб, а то Тогда

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABD:

тогда тре­уголь­ник ABD рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но,

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы, зная, что

Ответ: 480 см².

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­дем вы­со­ту CM, ко­то­рая так же яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах по­лу­ча­ем, что C₁M пер­пен­ди­ку­ляр­но AB, тогда C₁M = 13 см.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник MBC: по усло­вию. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке сто­ро­на, ле­жа­щая на про­тив угла в 30°, равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, тогда

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем BM:

Тогда см.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка MCC₁, зная, что CM = 5 см, MC₁  =  13 см, най­дем CC₁:

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы, зная, что :

Ответ: см².

Пусть Бо­ко­вые грани пря­мо­уголь­ной приз­мы  — пря­мо­уголь­ни­ки. Боль­шая диа­го­наль у пря­мо­уголь­ни­ка Так как и AC боль­ше ка­те­тов AB и BC, то как наи­боль­шее рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми приз­мы. Тогда

Вы­со­та приз­мы

На­хо­дим объём приз­мы:

Ответ:

В ос­но­ва­нии любой пря­мой че­ты­рех­уголь­ной приз­мы лежит квад­рат.

Ответ: в.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Про­ведём вы­со­ту CN. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ACN в нашем слу­чае, AN  =  AD − (AD − BC) : 2, то есть

Те­перь по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CND найдём бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции, ко­то­рая, так как бо­ко­вые грани приз­мы яв­ля­ют­ся квад­ра­та­ми, будет равна вы­со­те приз­мы:

Пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна сумме пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти и пло­ща­дей ос­но­ва­ний. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти можно найти, умно­жив вы­со­ту на пе­ри­метр ос­но­ва­ния, тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти равна

Объём приз­мы равен про­из­ве­де­нию вы­со­ты на пло­щадь ос­но­ва­ния, в нашем слу­чае

Ответ:

По тео­ре­ме диа­го­на­ли ромба вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны OС пер­пен­ди­ку­ляр­но BD. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах OC₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но BD, сле­до­ва­тель­но, OC₁  =  5 см.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем CC₁ из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OCC₁:

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы, зная, что

Ответ: 60 см².

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­дем вы­со­ту CM, ко­то­рая так же яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах по­лу­ча­ем, что C₁M пер­пен­ди­ку­ляр­но AB, тогда C₁M = 11 см.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник MBC: по усло­вию. Тре­уголь­ник MBC  — рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный, зна­чит, ка­те­ты равны:

Тогда см.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка MCC₁, зная, что см, MC₁  =  11 см, най­дем CC₁:

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы, зная, что :

Ответ:

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мой па­рал­ле­ле­пи­пед. Ис­ко­мое се­че­ние  — че­ты­рех­уголь­ник AB₁C₁D. Про­ве­дем в ромбе ABCD вы­со­ту BK. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­ре­зок B₁K пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой AD. Угол B₁KB яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми AB₁D и ABD.

Най­дем пло­щадь ромба ABCD:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KB₁B на­хо­дим

Таким об­ра­зом, объем пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равен

Ответ: 14 400.

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мой па­рал­ле­ле­пи­пед. Ис­ко­мое се­че­ние  — че­ты­рех­уголь­ник AB₁C₁D. Про­ве­дем в ромбе ABCD вы­со­ту BK. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­ре­зок B₁K пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой AD. Угол B₁KB яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми AB₁D и ABD. Най­дем пло­щадь ромба ABCD:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KB₁B на­хо­дим

Таким об­ра­зом, объем пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ равен

Ответ: 1728.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грамм ABCD, его диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁C угол ACA₁ равен 60°. Вы­со­той па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся ребро AA₁, сле­до­ва­тель­но, его длина равна 8. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁C угол A₁CA равен 45°, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, его ка­те­ты AA₁ и AC равны, их длины равна 8.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BB₁D угол B₁DB равен 60°, угол BB₁D равен 30°. Длина ка­те­та BD, ле­жа­ще­го на­про­тив угла, рав­но­го 30°, равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы B₁D. При­мем за x длину BD, тогда длина B₁D равна 2x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Таким об­ра­зом, Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка AOB:

По свой­ствам па­рал­ле­ло­грам­ма, диа­го­на­ли раз­би­ва­ют его на че­ты­ре тре­уголь­ни­ка, име­ю­щих рав­ную пло­щадь. Тогда Най­дем объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ:

Ос­но­ва­ни­ем пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грамм ABCD, его диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁C угол ACA₁ равен 30°. Вы­со­той па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся ребро AA₁, сле­до­ва­тель­но, его длина равна 6. Катет AA₁ лежит на­про­тив угла ACA₁, рав­но­го 30°, сле­до­ва­тель­но, длина AA₁ равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы A₁C, тогда A₁C  =  12. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BB₁D угол B₁DB равен 45°, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, длины от­рез­ков BB₁ и BD равны 6. Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка AOB:

По свой­ствам па­рал­ле­ло­грам­ма, диа­го­на­ли раз­би­ва­ют его на че­ты­ре тре­уголь­ни­ка, име­ю­щих рав­ную пло­щадь. Тогда Най­дем объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ:

Бо­ко­вые ребра приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны ее ос­но­ва­нию, а длина вы­со­ты приз­мы равна длине бо­ко­во­го ребра. Точка M  — се­ре­ди­на ребра приз­мы BB₁. По­стро­им се­че­ние приз­мы плос­ко­стью AMD. Пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны, по­это­му по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти пря­мая AD па­рал­лель­на плос­ко­сти BB₁C₁C. Се­ку­щая плос­кость AMD пе­ре­се­ка­ет плос­кость BB₁C₁C по пря­мой, ко­то­рая па­рал­лель­на пря­мой AD. В пря­мо­уголь­ни­ке BB₁C₁C по­стро­им от­ре­зок MN па­рал­лель­ный пря­мой BC, точка N лежит на ребре CC₁. Про­ве­дем от­рез­ки DN и AM и по­лу­чим тра­пе­цию AMND, она яв­ля­ет­ся се­че­ни­ем приз­мы плос­ко­стью AMD, по усло­вию пло­щадь этой тра­пе­ции равна 48.

Пря­мые MN и BC па­рал­лель­ны, также как и пря­мые MB и NC. Угол B₁BC яв­ля­ет­ся пря­мым, тогда че­ты­рех­уголь­ник BMNC  — пря­мо­уголь­ник. От­сю­да BC  =  MN  =  4, а также MB  =  CN. В тра­пе­ции ABCD опу­стим вы­со­ту BK, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые AD и MK пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Угол MKB  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, его гра­дус­ная мера рана 60°. Так как от­ре­зок MK  — вы­со­та тра­пе­ции AMND, имеем:

Тре­уголь­ник MBK  — пря­мо­уголь­ный, угол KMB равен 30°, тогда длина ка­те­та BK равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы MK, то есть 4. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Длина ребра BB₁ в два раза боль­ше длины от­рез­ка MB и равна Пло­щадь ос­но­ва­ния призы равна пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD. Най­дем ее:

Най­дем объем приз­мы:

Ответ: