Так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию, точка H, яв­ля­ю­ща­я­ся ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты пи­ра­ми­ды, яв­ля­ет­ся и цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти, то есть цен­тром пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба ABCD.

Про­ведём HK пер­пен­ди­ку­ляр­но к DC, тогда MK пер­пен­ди­ку­ляр­но к CD. Зна­чит, угол MKH яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между гра­нью MCD и ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, тогда

Рас­смот­рим ромб ABCD. Так как AC  =  8, BD  =  6, то:

По свой­ству ромба угол AHD равен 90°, а AH  =  4, HD  =  3, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AD  =  5. По фор­му­ле

то есть

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке HMK от­ре­зок и то есть

Пусть MH  =  5x, MK  =  13x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

зна­чит, Имеем:

Так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды  — рав­но­ве­ли­кие тре­уголь­ни­ки, то

Ответ: 26.

Так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию, точка O, яв­ля­ю­ща­я­ся ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты пи­ра­ми­ды, яв­ля­ет­ся и цен­тром впи­сан­ной в тра­пе­цию ABCD окруж­но­сти.

Про­ведём OK пер­пен­ди­ку­ляр­но к AB, тогда MK пер­пен­ди­ку­ляр­но к AB. Зна­чит, угол MKO яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между гра­нью MAB и ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, тогда

Рас­смот­рим тра­пе­цию ABCD. Так как в тра­пе­цию можно впи­сать окруж­ность, то

Про­ведём вы­со­ту CH, тогда AH  =  BC, AB  =  CH и Пусть AB  =  x, тогда CD  =  9 – x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке CHD от­ре­зок AB  =  4. Имеем:

Ра­ди­ус впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию окруж­но­сти равен по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции, то есть

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MOK от­ре­зок то есть Пусть MO  =  3x, MK  =  5x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

зна­чит,

Найдём объём пи­ра­ми­ды по фор­му­ле:

Ответ: 9.

Пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да имеет 8 ребер (4 бо­ко­вых, 4 в ос­но­ва­нии).

Ответ: г.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де 5 гра­ней.

Ответ: в.

Вы­со­та ос­но­ва­ния сов­па­да­ет с цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния, так как бо­ко­вые ребра рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию. Тра­пе­ция ABCD яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной, так как толь­ко во­круг рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции можно опи­сать окруж­ность, зна­чит, AB  =  CD. От­ре­зок AD яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, по­сколь­ку угол ABD  — пря­мой. Точка O  — центр окруж­но­сти, тогда SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, ко­то­рая лежит на се­ре­ди­не AD.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD опу­стим вы­со­ту BF, тогда

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна

Ответ:

Ос­но­ва­ние вы­со­ты на­хо­дит­ся в цен­тре впи­сан­ной в тра­пе­цию окруж­но­сти, так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию. Так как тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, а ос­но­ва­ния равны 6 и 8, то бо­ко­вые сто­ро­ны равны 7, так как окруж­ность можно впи­сать толь­ко в ту тра­пе­цию, у ко­то­рой сумма длин ос­но­ва­ний равна сумме длин бо­ко­вых сто­рон. Про­ведём вы­со­ту BF в тра­пе­ции ABCD и найдём её ве­ли­чи­ну: а так как то тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Под­ста­вим и по­лу­чим, что Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен где p  — по­лу­пе­ри­метр, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна Тогда пло­щадь тра­пе­ции равна а объем пи­ра­ми­ды  — 

Ответ:

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, у неё в ос­но­ва­нии лежит квад­рат ABCD. Вы­со­та SO па­да­ет в центр ABCD. Про­ведём апо­фе­мы SM и SK. По­лу­чи­лось, MK  =  CB  =  2 см. В тре­уголь­ни­ке MSK вы­со­та MN  — рас­сто­я­ние от сто­ро­ны ос­но­ва­ния до про­ти­во­ле­жа­щей бо­ко­вой грани, она равна

Найдём синус угла MKS:

Зна­чит, угол MKS равен 60°. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOK при­мем SO за x. По­сколь­ку катет KO лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SOK имеем:

Таким об­ра­зом, Пло­щадь S ос­но­ва­ния равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, то есть 4 см². Найдём объём V пи­ра­ми­ды SABCD:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). За­ме­тим, что, так как бо­ко­вые сто­ро­ны на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под одним углом, вы­со­та пи­ра­ми­ды будет па­дать в центр впи­сан­ной окруж­но­сти. Пусть ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его ка­те­тов, либо про­из­ве­де­нию ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти на по­лу­пе­ри­метр, в нашем слу­чае

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке DOK катет DO, яв­ля­ю­щий­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды, равен про­из­ве­де­нию ка­те­та OK, рав­но­го ра­ди­у­су впи­сан­ной окруж­но­сти, на тан­генс угла при бо­ко­вой сто­ро­не пи­ра­ми­ды, то есть Ги­по­те­ну­за DK  — апо­фе­ма пи­ра­ми­ды  — равна част­но­му от де­ле­ния OK на ко­си­нус угла при бо­ко­вой сто­ро­не, то есть Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна сумме пло­ща­дей бо­ко­вой по­верх­но­сти и ос­но­ва­ния, где пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апо­фе­му. Имеем

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). За­ме­тим, что, так как бо­ко­вые сто­ро­ны на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под одним углом, вы­со­та пи­ра­ми­ды будет па­дать в центр впи­сан­ной окруж­но­сти. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна либо про­из­ве­де­нию ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти на по­лу­пе­ри­метр, либо, по фор­му­ле Ге­ро­на, где p  — по­лу­пе­ри­метр, в нашем слу­чае

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник SOK рав­но­бед­рен­ный, так как один из его углов равен 45°, тогда ка­те­ты OK и SO, яв­ля­ю­щи­е­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды и ра­ди­у­сом впи­сан­ной окруж­но­сти, равны. Ги­по­те­ну­за SK  — апо­фе­ма пи­ра­ми­ды  — равна част­но­му от де­ле­ния OK на ко­си­нус угла при бо­ко­вой сто­ро­не, то есть Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апо­фе­му. Имеем

Ответ:

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис). Так как две бо­ко­вые грани пер­пен­ди­ку­ляр­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, ребро DB пер­пен­ди­ку­ляр­но к ос­но­ва­нию, а зна­чит, яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды. Угол BHD  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стью ос­но­ва­ния и бо­ко­вой гра­нью, он равен В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке DBH найдём катет BH:

От­ре­зок BH яв­ля­ет­ся вы­со­той в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC. Найдём сто­ро­ну AC этого тре­уголь­ни­ка и его пло­щадь S:

На­ко­нец, найдём объём V дан­ной пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис). Так как две бо­ко­вые грани пер­пен­ди­ку­ляр­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, ребро DB пер­пен­ди­ку­ляр­но к ос­но­ва­нию, а зна­чит, яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды. Угол BHD  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стью ос­но­ва­ния и бо­ко­вой гра­нью, он равен В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке DBH найдём катет BH:

От­ре­зок BH яв­ля­ет­ся вы­со­той в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC. Найдём сто­ро­ну AC этого тре­уголь­ни­ка и его пло­щадь S:

На­ко­нец, найдём объём V дан­ной пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Объем пи­ра­ми­ды S₁MNC равен Пло­щадь тре­уголь­ни­ка MNC равна так как тре­уголь­ник MNC по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC по трём углам, S₁O  =  2 · SO. Тогда

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Объём пи­ра­ми­ды вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле В слу­чае пи­ра­ми­ды S₁ABM, вы­со­та равна по­ло­ви­не вы­со­ты пи­ра­ми­ды SABC, а пло­щадь ос­но­ва­ния равна по­ло­ви­не пло­ща­ди ос­но­ва­ния той же пи­ра­ми­ды, так как ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на рав­но­ве­ли­кие части. Тогда объём пи­ра­ми­ды S₁ABM равен чет­вер­ти объёма пи­ра­ми­ды SABC, то есть

Ответ:

Пусть грань PAB пер­пен­ди­ку­ляр­на к ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды, тогда AB  — про­ек­ция PA на плос­кость ABC и про­ек­ция PB на плос­кость ABC, Тогда углы PBA и PAB яв­ля­ют­ся ли­ней­ны­ми уг­ла­ми дву­гран­ных углов между плос­ко­стя­ми бо­ко­вой грани PBC и плос­ко­стью ос­но­ва­ния и бо­ко­вой грани PAD и плос­ко­стью ос­но­ва­ния со­от­вет­ствен­но.

Про­ве­дем PH  — вы­со­ту рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка PAB. От­ре­зок PH яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды PABCD, так как как вы­со­та тре­уголь­ни­ка, как сто­ро­ны квад­ра­та, зна­чит, PH пер­пен­ди­ку­ляр­на двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым, тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка PBH най­дем

Най­дем объем пи­ра­ми­ды по фор­му­ле

Ответ:

Пусть грань PAB пер­пен­ди­ку­ляр­на к ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды, тогда AB  — про­ек­ция PA на плос­кость ABC и про­ек­ция PB на плос­кость ABC, Тогда углы PBA и PAB яв­ля­ют­ся ли­ней­ны­ми уг­ла­ми дву­гран­ных углов между плос­ко­стя­ми бо­ко­вой грани PBC и плос­ко­стью ос­но­ва­ния и бо­ко­вой грани PAD и плос­ко­стью ос­но­ва­ния со­от­вет­ствен­но.

Про­ве­дем PM  — вы­со­ту рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка PAB. От­ре­зок PM яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды PABCD, так как как вы­со­та тре­уголь­ни­ка, как сто­ро­ны квад­ра­та, зна­чит, PM пер­пен­ди­ку­ляр­на двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым, тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка PBM най­дем

Най­дем объем пи­ра­ми­ды по фор­му­ле

Ответ:

Плос­ко­сти ACM и APB пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой AM.

Ответ: б).

Плос­ко­сти ABM и APC пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой AM.

Ответ: в).

Вы­со­та ос­но­ва­ния сов­па­да­ет с цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния, так как бо­ко­вые ребра рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию. Тра­пе­ция ABCD яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной, так как толь­ко во­круг рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции можно опи­сать окруж­ность, зна­чит, AB  =  CD. От­ре­зок AD яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, по­сколь­ку угол ABD  — пря­мой. Точка O  — центр окруж­но­сти, тогда SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, ко­то­рая лежит на се­ре­ди­не AD.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD опу­стим вы­со­ту BF, тогда

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна

Таким об­ра­зом, зна­че­ние равно

Ответ: 160.

Вы­со­та ос­но­ва­ния сов­па­да­ет с цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния, так как бо­ко­вые ребра рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию. Тра­пе­ция ABCD яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной, так как толь­ко во­круг рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции можно опи­сать окруж­ность, зна­чит, AB  =  CD. От­ре­зок AD яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, по­сколь­ку угол ABD  — пря­мой. Точка O  — центр окруж­но­сти, тогда SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, ко­то­рая лежит на се­ре­ди­не AD.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD опу­стим вы­со­ту BF, тогда

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна

Таким об­ра­зом, зна­че­ние равно

Ответ: 20.

По­сколь­ку про­ек­ция MA на плос­кость ABCD  — пря­мая AB, ко­то­рая пер­пен­ди­ку­ляр­на AD, зна­чит, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мая MA пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AD. Сле­до­ва­тель­но, угол BAM  — это ли­ней­ный дву­гран­но­го угла между гра­нью AMD и ос­но­ва­ни­ем, ко­то­рый равен 30°. Ана­ло­гич­но пря­мая MC пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC и угол MCB равен 45°.

Тре­уголь­ник CBM  — пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MBA вы­ра­зим AB:

Таким об­ра­зом, объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: