Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са и ци­лин­дра равен 3, так как диа­метр равен 6. Пусть H  — вы­со­та ко­ну­са, L  —  об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, а H₁  — вы­со­та ци­лин­дра. Так как пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са, рав­ная про­из­ве­де­нию ра­ди­у­са ос­но­ва­ния и вы­со­ты, равна 12, то вы­со­та ко­ну­са равна 6. Тогда об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 5, а зна­чит, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са Под­ста­вим: Так как R  =  3, то пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна а по усло­вию она равна S_б.к, зна­чит, H₁=2,5. Найдём объем ци­лин­дра: под­ста­вим и по­лу­чим, что объем ци­лин­дра равен

Ответ:

Пусть H  — вы­со­та ко­ну­са, а H₁  — вы­со­та ци­лин­дра. Из осе­во­го се­че­ния на­хо­дим, что тогда объем ко­ну­са равен а объем ци­лин­дра  —  Так как конус и ци­линдр имеют рав­ные объ­е­мы, то Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна:

Ответ:

Се­че­ние шара плос­ко­стью  — круг. Так как длина линии пе­ре­се­че­ния сферы и се­ку­щей плос­ко­стью равна π см, то ра­ди­ус се­че­ния равен

По фор­му­ле найдём ра­ди­ус сферы:

Зна­чит,

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOB от­ре­зок Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Зна­чит, OA  =  1 см, тогда рас­сто­я­ние от цен­тра шара до се­ку­щей плос­ко­сти равно 1 см.

Ответ: 1 см.

Пло­щадь раз­верт­ки равна пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, то есть равна про­из­ве­де­нию сто­рон пря­мо­уголь­ной раз­вет­ки, а имен­но равна Тогда пра­виль­ный ответ б).

Ответ: б.

Пло­щадь раз­верт­ки равна пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, то есть равна про­из­ве­де­нию сто­рон пря­мо­уголь­ной раз­вет­ки, а имен­но равна Тогда пра­виль­ный ответ г).

Ответ: г.

Так как O  — центр впи­сан­ной сферы, OM  — бис­сек­три­са угла PMH. Рас­смот­рим тре­уголь­ник PMH:

По тео­ре­ме о бис­сек­три­се тре­уголь­ни­ка

Тогда PH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна Ра­ди­ус сферы, рав­ный OH,

Пло­щадь сферы  — это сле­до­ва­тель­но, пло­щадь дан­ной сферы равен

Ответ:

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти По усло­вию:

Тогда Вы­со­та ко­ну­са равна:

Тогда Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди шара:

Из усло­вия сле­ду­ет, что тогда:

Ответ:

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти По усло­вию:

Тогда Зная, что по­лу­ча­ем:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди шара:

Из усло­вия сле­ду­ет, что тогда:

Ответ:

Пусть R  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са, L  — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, L  =  8 см. Тогда

Так как пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния, то имеем:

Най­дем длину окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са и длину дуги сек­то­ра:

По­сколь­ку длина этой дуги равна длине окруж­но­сти в ос­но­ва­нии ко­ну­са, то

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть x равен рас­сто­я­нию от цен­тра шара до мно­же­ства точек его плос­ко­сти. Се­че­ние шара яв­ля­ет­ся кру­гом, пло­щадь ко­то­ро­го равна тогда в нашем слу­чае ра­ди­ус се­че­ния равен По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке OO₁A по­лу­ча­ем

Ответ: 12.

Се­че­ни­ем шара плос­ко­стью будет круг. Тогда AB  — ра­ди­ус круга, OB  — ра­ди­ус шара, а OA  — рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти се­че­ния. Пло­щадь се­че­ния шара счи­та­ет­ся по фор­му­ле тогда под­ста­вим и по­лу­чим, что Так как по усло­вию пло­щадь се­че­ния шара в во­семь раз мень­ше пло­щаи по­верх­но­сти, имеем: Тогда ра­ди­ус шара равен 5. Найдём OA по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 5.

Се­че­ни­ем шара плос­ко­стью будет круг. Тогда AB  — ра­ди­ус круга, OB  — ра­ди­ус шара, а OA  — рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти се­че­ния. Пло­щадь се­че­ния счи­та­ет­ся по фор­му­ле под­ста­вим и по­лу­чим, что пло­щадь се­че­ния равна Так как пло­щадь по­верх­но­сти шара в 16 раз боль­ше пло­ща­ди се­че­ния, то Тогда ра­ди­ус шара равен 4. Найдём OA по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ:

Так как объем шара равен то R³  =  64, зна­чит, R  =  4. Тогда пло­щадь по­верх­но­сти шара равна

Ответ:

Так как пло­щадь по­верх­но­сти шара равна тогда R=3. Зна­чит, объём шара равен

Ответ:

Тре­уголь­ник ABC  — осе­вое се­че­ние, CO  — вы­со­та ко­ну­са, OK  =  k  — пер­пен­ди­ку­ляр к об­ра­зу­ю­щей BC.

Пусть Тогда из тре­уголь­ни­ка KOB Так как угол α ост­рый, по­лу­ча­ем, что

В тре­уголь­ни­ке OCB:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти найдём по фор­му­ле

Ответ:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти найдём по фор­му­ле: Имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой б).

Ответ: б).

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти найдём по фор­му­ле: Имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой а).

Ответ: а).

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ASB  — осе­вое се­че­ние ко­ну­са, SO  — вы­со­та ко­ну­са. По усло­вию где M  — се­ре­ди­на об­ра­зу­ю­щей SB.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе, равна ее по­ло­ви­не. По­это­му в тре­уголь­ни­ке SOB имеем: SB  =  2OM  =  24 см. По свой­ству пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков SOB имеем:

Так как ра­ди­ус ос­но­ва­ния R  =  OB  =  12 см, то об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са L  =  SB  =  24 см, то можем найти пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти:

Ответ:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOB:   — вы­со­та, опу­щен­ная на ги­по­те­ну­зу.

Най­дем ра­ди­ус OB из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OKB: Из тре­уголь­ни­ка SOB:

Итак, най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са:

Ответ:

Най­дем ра­ди­ус сферы:

Ответ: 5.