Про­ве­дем AH пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти Пусть AB  =  5x, а AC  =  6x. При­чем, HC > BH, так как боль­шей про­ек­ции со­от­вет­ству­ет боль­шая на­клон­ная, по­это­му Найдём AH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, так как тре­уголь­ни­ки ABH и ACH пря­мо­уголь­ные, то есть:

По смыс­лу за­да­чи x от­ри­ца­тель­ным быть не может, по­это­му он равен 1. Тогда AB  =  5x  =  5 · 1  =  5. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём катет тре­уголь­ни­ка ABH: ²  =  25 − 16  =  9, тогда AH  =  3.

Ответ: 3.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са и ци­лин­дра равен 3, так как диа­метр равен 6. Пусть H  — вы­со­та ко­ну­са, L  —  об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, а H₁  — вы­со­та ци­лин­дра. Так как пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са, рав­ная про­из­ве­де­нию ра­ди­у­са ос­но­ва­ния и вы­со­ты, равна 12, то вы­со­та ко­ну­са равна 6. Тогда об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 5, а зна­чит, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са Под­ста­вим: Так как R  =  3, то пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна а по усло­вию она равна S_б.к, зна­чит, H₁=2,5. Найдём объем ци­лин­дра: под­ста­вим и по­лу­чим, что объем ци­лин­дра равен

Ответ:

Про­ве­дем KO пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти Пусть MO  =  x, а OP  =  15 − x. Найдём KO по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, так как тре­уголь­ни­ки MKO и KOP пря­мо­уголь­ные, то есть:

Тогда MO  =  x  =  5. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём катет тре­уголь­ни­ка KMO: KO²  =  225 − 25  =  200, тогда

Ответ:

Се­че­ние шара плос­ко­стью  — круг. Так как пло­щадь этого круга по усло­вию равна см², то его ра­ди­ус равен 3 см.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AOB. От­ре­зок AO = 4 см, AB (ра­ди­ус) = 3 см.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра OB (ра­ди­ус шара) = 5 см.

Найдём объём шара по фор­му­ле Имеем:

Ответ: см³.

Так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию, точка H, яв­ля­ю­ща­я­ся ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты пи­ра­ми­ды, яв­ля­ет­ся и цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти, то есть цен­тром пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба ABCD.

Про­ведём HK пер­пен­ди­ку­ляр­но к DC, тогда MK пер­пен­ди­ку­ляр­но к CD. Зна­чит, угол MKH яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между гра­нью MCD и ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, тогда

Рас­смот­рим ромб ABCD. Так как AC  =  8, BD  =  6, то:

По свой­ству ромба угол AHD равен 90°, а AH  =  4, HD  =  3, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AD  =  5. По фор­му­ле

то есть

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке HMK от­ре­зок и то есть

Пусть MH  =  5x, MK  =  13x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

зна­чит, Имеем:

Так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды  — рав­но­ве­ли­кие тре­уголь­ни­ки, то

Ответ: 26.

Так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию, точка O, яв­ля­ю­ща­я­ся ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты пи­ра­ми­ды, яв­ля­ет­ся и цен­тром впи­сан­ной в тра­пе­цию ABCD окруж­но­сти.

Про­ведём OK пер­пен­ди­ку­ляр­но к AB, тогда MK пер­пен­ди­ку­ляр­но к AB. Зна­чит, угол MKO яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между гра­нью MAB и ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, тогда

Рас­смот­рим тра­пе­цию ABCD. Так как в тра­пе­цию можно впи­сать окруж­ность, то

Про­ведём вы­со­ту CH, тогда AH  =  BC, AB  =  CH и Пусть AB  =  x, тогда CD  =  9 – x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке CHD от­ре­зок AB  =  4. Имеем:

Ра­ди­ус впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию окруж­но­сти равен по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции, то есть

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MOK от­ре­зок то есть Пусть MO  =  3x, MK  =  5x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

зна­чит,

Найдём объём пи­ра­ми­ды по фор­му­ле:

Ответ: 9.

Так как в ос­но­ва­нии приз­мы рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник с из­вест­ной пло­ща­дью, най­дем сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка, вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой пло­ща­ди рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка: От­сю­да

Те­перь най­дем вы­со­ту TM(см.рис) по фор­му­ле от­ку­да

В тре­уголь­ни­ке TMK: так как   —

угол между ос­но­ва­ни­ем и плос­ко­стьюKSR. Зна­чит:

тогда:

В тре­уголь­ни­ке RMK по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

Тре­уголь­ник KRS рав­но­бед­рен­ный (), тогда

Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле

Ответ:

Ис­поль­зуя фор­му­лу вы­со­ты ос­но­ва­ния, най­дем сто­ро­ну ос­но­ва­ния:

Так как а (так как это угол между ос­но­ва­ни­ем и пло­ко­стью AKB). Тогда а также Зная это, най­дем

По­сколь­ку

Ответ:

Объем приз­мы  — это пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы, умно­жен­ная на ее вы­со­ту. Пло­щадь ос­но­ва­ния равна так как в ос­но­ва­нии квад­рат. Угол между B₁D и бо­ко­вой сто­ро­ной  — это угол B₁DC₁. Сто­ро­на B₁C₁ равна сто­ро­не BC. Тогда рас­смот­рим тре­уголь­ник B₁C₁D: он пря­мо­уголь­ный, так как приз­ма пра­виль­ная, сто­ро­на B₁C₁ яв­ля­ет­ся ка­те­том и лежит про­тив угла в 30°. Сле­до­ва­тель­но, сто­ро­на B₁D равна Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник B₁DB: BD  — это диа­го­наль ос­но­ва­ния, рав­ная тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный. Мы знаем сто­ро­ны BD и B₁D, сле­до­ва­тель­но, мы можем найти сто­ро­ну BB₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Зна­чит, объем приз­мы равен

Ответ: 4 см³.

Так как O  — центр впи­сан­ной сферы, OM  — бис­сек­три­са угла PMH. Рас­смот­рим тре­уголь­ник PMH:

По тео­ре­ме о бис­сек­три­се тре­уголь­ни­ка

Тогда PH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна Ра­ди­ус сферы, рав­ный OH,

Пло­щадь сферы  — это сле­до­ва­тель­но, пло­щадь дан­ной сферы равен

Ответ:

Объем приз­мы  — это пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы, умно­жен­ная на ее вы­со­ту. Если пло­щадь ос­но­ва­ния (ко­то­рое яв­ля­ет­ся квад­ра­том) равна 8, то сто­ро­на ос­но­ва­ния равна Угол между B₁D и бо­ко­вой сто­ро­ной  — это угол B₁DC₁. Сто­ро­на B₁C₁ равна сто­ро­не BC. Тогда рас­смот­рим тре­уголь­ник B₁C₁D: он пря­мо­уголь­ный, так как приз­ма пра­виль­ная, сто­ро­на B₁C₁ яв­ля­ет­ся ка­те­том и лежит про­тив угла в 30°. Сле­до­ва­тель­но, сто­ро­на B₁D равна Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник B₁DB: BD  — это диа­го­наль ос­но­ва­ния, рав­ная тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный. Мы знаем сто­ро­ны BD и B₁D, сле­до­ва­тель­но, мы можем найти сто­ро­ну BB₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Зна­чит, объем приз­мы равен

Ответ: 32 см³.

Пря­мо­уголь­ник AABB яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AAB ги­по­те­ну­за AB равна 10 см, синус угла ABA равен Най­дем длину ка­те­та AA₁:

Таким об­ра­зом, вы­со­та ци­лин­дра равна 6 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AA₁B:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен по­ло­ви­не ка­те­та AB, то есть 4 см. Вы­чис­лим объем ци­лин­дра:

Ответ: см³.

Квад­рат ABCD  — ос­но­ва­ние пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, SM  — апо­фе­ма. Угол OSM равен 60°, от­ре­зок OM равен по­ло­ви­не сто­ро­ны квад­ра­та. Най­дем его длину: По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SOM:

Длина сто­ро­ны квад­ра­та равна удво­ен­ной длине от­рез­ка OM, то есть Бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды яв­ля­ют­ся рав­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми. Най­дем пло­щадь од­но­го из них:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна сумме пло­ща­дей всех гра­ней, то есть Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния: Таким об­ра­зом, можем найти пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти приз­мы:

Ответ:

Пря­мо­уголь­ник AA₁BB₁ яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AAB ги­по­те­ну­за A₁B равна 13 см, ко­си­нус угла A₁BA равен Най­дем длину ка­те­та AB:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AA₁B:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен по­ло­ви­не ка­те­та AB, то есть 6 см. Вы­чис­лим объем ци­лин­дра:

Ответ: см³.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са L яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом сек­то­ра, т. е.

L  =  r  =  12 см.

Пусть угол сек­то­ра, Най­дем длину дуги сек­то­ра по фор­му­ле

Най­ден­ная длина l равна длине окруж­но­сти, ле­жа­щей в ос­но­ва­нии ко­ну­са, т. е. Тогда

Най­дем вы­со­ту ко­ну­са, при­ме­нив тео­ре­му Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка POA  — пря­мо­уголь­ный:

Най­дем объём ко­ну­са по фор­му­ле

Ответ:

Про­ве­дем BH  — пер­пен­ди­ку­ляр к AC. Также, BM  — пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка ABC из усло­вия. Тогда по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах MH  — ор­то­го­наль к плос­ко­сти ABC. Сле­до­ва­тель­но, это и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABC. В нём Так как то от­ку­да по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Тогда:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке от­ку­да:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть x равен рас­сто­я­нию от цен­тра шара до мно­же­ства точек его плос­ко­сти. Се­че­ние шара яв­ля­ет­ся кру­гом, пло­щадь ко­то­ро­го равна тогда в нашем слу­чае ра­ди­ус се­че­ния равен По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке OO₁A по­лу­ча­ем

Ответ: 12.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Про­ведём вы­со­ту CN. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ACN в нашем слу­чае, AN  =  AD − (AD − BC) : 2, то есть

Те­перь по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CND найдём бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции, ко­то­рая, так как бо­ко­вые грани приз­мы яв­ля­ют­ся квад­ра­та­ми, будет равна вы­со­те приз­мы:

Пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна сумме пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти и пло­ща­дей ос­но­ва­ний. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти можно найти, умно­жив вы­со­ту на пе­ри­метр ос­но­ва­ния, тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти равна

Объём приз­мы равен про­из­ве­де­нию вы­со­ты на пло­щадь ос­но­ва­ния, в нашем слу­чае

Ответ: 788, 1404.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Се­че­ни­ем сферы яв­ля­ет­ся круг, длина окруж­но­сти ко­то­ро­го равна тогда в нашем слу­чае ра­ди­ус сферы равен 6. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке OO₁A найдём OO₁:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Про­ведём вы­со­ту CN. Пусть AD  =  a, BC  =  b, AC  =  c, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ACN:

Далее по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке CND:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равен про­из­вед­нию пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на вы­со­ту, в нашем слу­чае

За­ме­тим, что бо­ко­вые грани и диа­го­наль­ное се­че­ние  — пря­мо­уголь­ни­ки, зна­чит, их пло­ща­ди равны ah, bh и dh со­от­вет­ствен­но, тем самым

Ответ: 928.