Так как пи­ра­ми­да яв­ля­ет­ся пра­виль­ной, то в ее ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Тогда най­дем его пло­щадь по фор­му­ле

Так как H  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, то

Най­дем AM по фор­му­ле вы­со­ты рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка: Тогда

Так как то тре­уголь­ник AHP  — рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный. Зна­чит,

Те­перь най­дем объем пи­ра­ми­ды по фор­му­ле

Ответ:

Бо­ко­вые сто­ро­ны пи­ра­ми­ды об­ра­зу­ют с ос­но­ва­ни­ем угол в тогда В тре­уголь­ни­ке MPH ,тогда Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, тогда H—центр впи­сан­ной окруж­но­сти в тре­уголь­ник ABC, тогда Зная вы­со­ту ос­но­ва­ния, най­дем сто­ро­ну ос­но­ва­ния через фор­му­лу вы­со­ты:

Зная сто­ро­ну ос­но­ва­ния, най­дем пло­щадь:

Те­перь най­дем объем пи­ра­ми­ды по фор­му­ле

Ответ:

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

Про­ведём вы­со­ту AM к сто­ро­не BC, апо­фе­му DM в плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка BDC, вы­со­ту пи­ра­ми­ды DO. При­мем вы­со­ту DO за x. Угол DAO  — угол между реб­ром и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, по­это­му он равен 45°. По­это­му AO  =  DO.

Точка O  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. От­ре­зок MO со­став­ля­ет тре­тью часть от вы­со­ты/ме­ди­а­ны AM, а AO  — две трети (O  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, делит их в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны).

Найдём x, вос­поль­зо­вав­шись тео­ре­мой Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке DOM:

Итак, вы­со­та AM равна те­перь найдём сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка ABC:

а затем его пло­щадь S:

На­ко­нец, найдём объём V пи­ра­ми­ды DABC:

Ответ: 18 дм³.

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

Про­ведём вы­со­ту AM к сто­ро­не BC, апо­фе­му DM в плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка BDC, вы­со­ту пи­ра­ми­ды DO. При­мем вы­со­ту DO за x. Угол DAO  — угол между реб­ром и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, по­это­му он равен 45°. По­это­му AO = DO.

Точка O  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. От­ре­зок MO со­став­ля­ет тре­тью часть от вы­со­ты/ме­ди­а­ны AM, а AO  — две трети (O  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, делит их в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны).

Найдём x, вос­поль­зо­вав­шись тео­ре­мой Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке DOM:

Итак, вы­со­та AM равна 9, те­перь найдём сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка ABC:

а затем его пло­щадь S:

На­ко­нец, найдём объём V пи­ра­ми­ды DABC:

Ответ:

У дан­ной пи­ра­ми­ды все ребра равны. Пусть ребро пи­ра­ми­ды равно Точка па­де­ния вы­со­ты сов­па­да­ет с цен­тром опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния окруж­но­сти, Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOP на­хо­дим:

Из фор­му­лы объ­е­ма пи­ра­ми­ды имеем:

Ответ:

У дан­ной пи­ра­ми­ды все ребра равны. Пусть ребро пи­ра­ми­ды равно Точка па­де­ния вы­со­ты сов­па­да­ет с цен­тром опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния окруж­но­сти, Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOP:

Из фор­му­лы объ­е­ма пи­ра­ми­ды имеем:

Ответ:

Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. Так как дан­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то тре­уголь­ник ABC  — пра­виль­ный, а бо­ко­вые грани  — рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки.

Так как точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, то AM  — ме­ди­а­на и вы­со­та по свой­ству рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. Зна­чит, пря­мая AM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC. Ана­ло­гич­но, пря­мая PM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC. Таким об­ра­зом,   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми (ABC) и (PBC), так как пря­мая AM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC, пря­мая PM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC, Со­глас­но усло­вию,

Най­дем длину HM:

Най­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды:

По­сколь­ку имеем:

Ответ: 18 см³.

Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. Так как дан­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то тре­уголь­ник ABC  — пра­виль­ный, а бо­ко­вые грани  — рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки.

Так как точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, то AM  — ме­ди­а­на и вы­со­та по свой­ству рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков. Зна­чит, AM пер­пен­ди­ку­ляр­на к BC. Ана­ло­гич­но, PM пер­пен­ди­ку­ляр­на к BC. Таким об­ра­зом,   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми (ABC) и (PBC), так как AM пер­пен­ди­ку­ляр­на к BC, PM пер­пен­ди­ку­ляр­на к BC,

По усло­вию

Най­дем HM:

Так как тре­уголь­ник ABC  — пра­виль­ный, то AM  =  3HM  =  3 см. Так как AM вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, то най­дем его сто­ро­ну по ней:

По­сколь­ку имеем:

Ответ:

Объём пи­ра­ми­ды вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой где H  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Про­ведём тогда тре­уголь­ник AOM  — пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, так как по усло­вию, от­ку­да, по тео­ре­ме о сумме углов тре­уголь­ни­ка, зна­чит, Так как O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти, то Таким об­ра­зом,

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, его пло­щадь вы­ра­жа­ет­ся по фор­му­ле тогда по­лу­ча­ем

Объ­еди­няя все дан­ные, на­хо­дим объём пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Ос­но­ва­ние ко­ну­са впи­са­но в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, а вер­ши­ны ко­ну­са и пи­ра­ми­ды сов­па­да­ют. DO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды и ко­ну­са, O  — центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти. Зна­чит, тогда Так как DK и DM  — об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са, а тре­уголь­ник DMK  — осе­вое се­че­ние, то Тогда имеем:

От­сю­да угол Тогда из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MOD вы­со­та ко­ну­са

Объём ко­ну­са найдём по фор­му­ле

Ответ:

Пи­ра­ми­да пра­виль­ная, тогда ABC  — пра­виль­ный тре­уголь­ник, O  — центр опи­сан­ной около ос­но­ва­ния окруж­но­сти, AO = R = 4 см  — её ра­ди­ус, DO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Про­ведём OM пер­пен­ди­ку­ляр­но к BC. Тогда DM пер­пен­ди­ку­ляр­но к BC, угол OMD = 60°. OM = r  — ра­ди­ус впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти. Так как то r = 2 см.

Так как см. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке DOM угол ODM = 30°, тогда апо­фе­ма пи­ра­ми­ды DM = 2OM = 2 · 2 = 4 см. Зна­чит, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти

Ответ: см².

Все грани этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ют­ся рав­но­сто­рон­ни­ми тре­уголь­ни­ка­ми. Пря­мая SM яв­ля­ет­ся апо­фе­мой, SK : KM  =  2 1. Тре­уголь­ник BNC  — ис­ко­мое се­че­ние. Так как тре­уголь­ник ASB  — рав­но­сто­рон­ний, а SM  — апо­фе­ма, то SM яв­ля­ет­ся и ме­ди­а­ной, тогда BN тоже ме­ди­а­на, так как BN пе­ре­се­ка­ет­ся с SM в точке K, ко­то­рая делит SM в от­но­ше­нии 2 : 1. А зна­чит, что Тре­уголь­ник BNC  — рав­но­бед­рен­ный, так как BN и NC  — рав­ные ме­ди­а­ны рав­ных тре­уголь­ни­ков. Из тре­уголь­ни­ка CBN про­ведём вы­со­ту NE на сто­ро­ну CB, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Найдём пло­щадь се­че­ния:

Ответ:

Угол   — угол между плос­ко­стью ос­но­ва­ния и реб­ром пи­ра­ми­ды. Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна (см.рис.)

По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах: сто­ро­на пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, а также: В тре­уголь­ни­ке AMB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем сто­ро­ну AM, яв­ля­ю­щу­ю­ся ме­ди­а­ной и вы­со­той:

Так как O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, то ме­ди­а­на AM де­лит­ся этой точ­кой в от­но­ше­нии 2 к 1, счи­тая от вер­ши­ны, най­дем AO и OM:

Те­перь най­дем сто­ро­ну DO из тре­уголь­ни­ка AOD:

Те­перь из тре­уголь­ни­ка DOM: Тогда: от­ку­да:

Ответ:

Так как тре­уголь­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то в ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Про­ве­дем Вы­со­ту DO, где O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды. Про­ве­дем вы­со­ту AN, ко­то­рая яв­ля­ет­ся так же ме­ди­а­ной и бис­сек­три­сой.Она прой­дет через точку O по свой­ству рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка. Тогда ON = OA = r. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах BC пер­пен­ди­ку­ляр­но DN, тогда DNO = 60°.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ODN, в ко­то­ром DON = 90°, DNO = 60°, тогда ODN = 30°. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке сто­ро­на, ле­жа­щая на­про­тив угла в 30°, равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Тогда:

По фор­му­ле ра­ди­у­са окруж­но­сти, впи­сан­ной в рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник по­лу­ча­ем, что см. Тогда см.

Из тре­уголь­ни­ка BND, вос­поль­зо­вав­шись тео­ре­мой Пи­фа­го­ра, най­дем r:

Тогда см. Най­дем BC, зная, что BC = 2BN:

Ответ: см.

По­сколь­ку тре­уголь­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то в ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Про­ве­дем вы­со­ту DO, где O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды. Про­ве­дем вы­со­ту AN, ко­то­рая яв­ля­ет­ся также ме­ди­а­ной и бис­сек­три­сой. Она прой­дет через точку O по свой­ству рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка. Тогда ON  — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах BC пер­пен­ди­ку­ляр­на DN, тогда угол DNO яв­ля­ет­ся дву­гран­ным углом и равен 30°.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке DON най­дем DN:

см.

см.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем r:

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, сто­ро­на ос­но­ва­ния равна

Ответ: 6 см.

Ос­но­ва­ни­ем пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Зна­чит, пра­виль­ный ответ под бук­вой г).

Ответ: г).

Про­ве­дем вы­со­ту SO, точка O  — центр пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей. В ос­но­ва­нии пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды лежит квад­рат, тогда S_осн = 49 м². Най­дем BD:

Зная объем пи­ра­ми­ды, най­дем вы­со­ту по фор­му­ле

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди диа­го­наль­но­го се­че­ния:

Ответ: м².

Ос­но­ва­ни­ем пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды  — квад­рат, бо­ко­вые грани  — рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки. Рас­смот­рим тре­уголь­ник DSC  — рав­но­бед­рен­ный. По усло­вию тогда Тогда тре­уголь­ник DSC рав­но­сто­рон­ний, зна­чит,

Про­ве­дем вы­со­ту SO. Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния. Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка COS:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Пусть PABC  — пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да. Точка K  — се­ре­ди­на ребра PC. Нуж­ное се­че­ние  — тре­уголь­ник AKB. По­сколь­ку плос­кость AKB пер­пен­ди­ку­ляр­на бо­ко­во­му ребру PC, то пря­мая BK пер­пен­ди­ку­ляр­на бо­ко­во­му ребру PC. От­ре­зок BK  — вы­со­та и ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка PBC, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник PBC яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным. Бо­ко­вые ребра в пра­виль­ной пи­ра­ми­де равны, то есть сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник PBC  — рав­но­сто­рон­ний, а зна­чит, все грани пра­виль­ной пи­ра­ми­ды PABC  — рав­ные рав­но­сто­рон­ние тре­уголь­ни­ки.

Пло­ща­ди гра­ней пи­ра­ми­ды равны Най­дем сто­ро­ну BC:

Ответ:

Пусть PABC  — пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да. Точка K  — се­ре­ди­на ребра PC. Нуж­ное се­че­ние  — тре­уголь­ник AKB. По­сколь­ку плос­кость AKB пер­пен­ди­ку­ляр­на бо­ко­во­му ребру PC, то пря­мая BK пер­пен­ди­ку­ляр­на бо­ко­во­му ребру PC. От­ре­зок BK  — вы­со­та и ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка PBC, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник PBC яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным. Бо­ко­вые ребра в пра­виль­ной пи­ра­ми­де равны, то есть сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник PBC  — рав­но­сто­рон­ний, а зна­чит, все грани пра­виль­ной пи­ра­ми­ды PABC  — рав­ные рав­но­сто­рон­ние тре­уголь­ни­ки.

Пло­ща­ди гра­ней пи­ра­ми­ды равны Най­дем сто­ро­ну BC:

Ответ: