Так как O  — центр впи­сан­ной сферы, OM  — бис­сек­три­са угла PMH. Рас­смот­рим тре­уголь­ник PMH:

По тео­ре­ме о бис­сек­три­се тре­уголь­ни­ка

Тогда PH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна Ра­ди­ус сферы, рав­ный OH,

Пло­щадь сферы  — это сле­до­ва­тель­но, пло­щадь дан­ной сферы равен

Ответ:

Квад­рат ABCD  — ос­но­ва­ние пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, SM  — апо­фе­ма. Угол OSM равен 60°, от­ре­зок OM равен по­ло­ви­не сто­ро­ны квад­ра­та. Най­дем его длину: По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SOM:

Длина сто­ро­ны квад­ра­та равна удво­ен­ной длине от­рез­ка OM, то есть Бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды яв­ля­ют­ся рав­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми. Най­дем пло­щадь од­но­го из них:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна сумме пло­ща­дей всех гра­ней, то есть Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния: Таким об­ра­зом, можем найти пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти приз­мы:

Ответ:

Рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC  — ос­но­ва­ние пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, DO  — ее вы­со­та, DM  — апо­фе­ма. Угол ODM равен 45°, от­ре­зок OM яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом впи­сан­ной окруж­но­сти. Най­дем длину от­рез­ка OM:

По свой­ствам впи­сан­ной в пра­виль­ный тре­уголь­ник окруж­но­сти, от­ку­да Вы­чис­лим пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти:

Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния:

Зная пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти и ос­но­ва­ния, най­дем пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти:

Ответ:

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, у неё в ос­но­ва­нии лежит квад­рат ABCD. Вы­со­та SO па­да­ет в центр ABCD. Про­ведём апо­фе­мы SM и SK. По­лу­чи­лось, MK  =  CB  =  10 см. В тре­уголь­ни­ке MSK вы­со­та MN  — рас­сто­я­ние от сто­ро­ны ос­но­ва­ния до про­ти­во­ле­жа­щей бо­ко­вой грани, она равна

Найдём синус угла MKS:

Зна­чит, угол MKS равен 60°. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOK при­мем SO за x. По­сколь­ку катет KO лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SOK имеем:

Таким об­ра­зом, Пло­щадь S ос­но­ва­ния равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, то есть 100 см². Найдём объём V пи­ра­ми­ды SABCD:

Ответ:

Объем пи­ра­ми­ды  — это где h  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Если дву­гран­ный угол при ребре ос­но­ва­ния равен 45°, угол MNO равен 45°. Зна­чит, тре­уголь­ник MNO рав­но­бед­рен­ный, и ON = MO. Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, в ос­но­ва­нии квад­рат и Тогда пло­щадь ос­но­ва­ния равна а объем равен

Ответ: 36 000 см³.

Объем пи­ра­ми­ды  — это где h  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Если дву­гран­ный угол при ребре ос­но­ва­ния равен 45°, угол MNO равен 45°. Зна­чит, тре­уголь­ник MNO рав­но­бед­рен­ный, и ON = MO. Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, в ос­но­ва­нии квад­рат. Зна­чит, Так как тре­уголь­ник MNO рав­но­бед­рен­ный, MO тоже равна 3 см. Пло­щадь ос­но­ва­ния равна а объем равен

Ответ: 36 см³.

Объём пи­ра­ми­ды вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой где H  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. В тре­уголь­ни­ке POK за­ме­тим, что зна­чит, Сто­ро­на ос­но­ва­ния вдвое боль­ше OK (см. рис.), от­ку­да

Ис­поль­зуя по­лу­чен­ные дан­ные, на­хо­дим объём:

Ответ:

Ос­но­ва­ние пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды  — квад­рат. Точка O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей, тогда SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Про­ведём OM пер­пен­ди­ку­ляр­но DC. Тогда SM пер­пен­ди­ку­ляр­но к CD, угол OMS  =  45°. Зна­чит,

Тогда В тре­уголь­ни­ке SOM имеем:

Так как бо­ко­вые грани четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды равны, то

Пло­щадь ос­но­ва­ния:

Тогда пло­щадь всей бо­ко­вой по­верх­но­сти:

Ответ:

Ос­но­ва­ние ко­ну­са впи­са­но в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, а вер­ши­ны ко­ну­са и пи­ра­ми­ды сов­па­да­ют. Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то ABCD  — квад­рат. Тогда SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды и ко­ну­са, O  — центр впи­сан­ной в квад­рат ABCD окруж­но­сти. Зна­чит, тогда SM  — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са. Угол SMO  =  α  — угол на­кло­на об­ра­зу­ю­щей. Из рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка DSA: Тогда из тре­уголь­ни­ка SOM имеем:

От­сю­да ис­ко­мый угол Тогда из тре­уголь­ни­ка SOM вы­со­та ко­ну­са

Объём ко­ну­са найдём по фор­му­ле

Ответ:

Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то в её ос­но­ва­нии лежит квад­рат со сто­ро­ной 8, пря­мые SN и SK равны 8, так как яв­ля­ют­ся апо­фе­ма­ми. Точка M  — се­ре­ди­на SN. Пря­мая DC па­рал­лель­на плос­ко­сти ASB, так как DC па­рал­лель­на AB. Про­ведём A₁B₁ так, что она па­рал­лель­на пря­мой AB и про­хо­дит через точку M. Тогда по тео­ре­ме Фа­ле­са точки A₁ и B₁  — се­ре­ди­ны рёбер AS и BS. Зна­чит, тра­пе­ция A₁B₁CD  — ис­ко­мое се­че­ние, A₁B₁  =  4, так как яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка SAB. Пря­мая NK  — про­ек­ция пря­мой MK на плос­кость ос­но­ва­ния. Так как NK па­рал­лель­но AD, а AD пер­пен­ди­ку­ляр­на DC, то NK пер­пен­ди­ку­ляр­на DC. Зна­чит, по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах MK пер­пен­ди­ку­ляр­на DC. Так как тре­уголь­ник NSK рав­но­сто­рон­ний, тогда MK  — ме­ди­а­на и вы­со­та, тогда Пло­щадь се­че­ния

Ответ:

За­ме­тим, что так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то ее ос­но­ва­ние  — квад­рат. SO—ос­но­ва­ние, O—центр впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти(см.рис.).

Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния равна a, а так как OM—ра­ди­ус впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти, то По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах: SM пер­пен­ди­ку­ляр­на DC,

Из пря­мо­уголь­но рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ADC:

а также: Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOS:

Те­перь из тре­уголь­ни­ка SOM:

От­ку­да:

Ответ:

Ос­но­ва­ни­ем пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся квад­рат, по­это­му пра­виль­ный ва­ри­ант от­ве­та ука­зан под бук­вой в).

Ответ: в).

Объем пи­ра­ми­ды  — это где h  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Если дву­гран­ный угол при ребре ос­но­ва­ния равен 45°, угол MNO равен 45°. Зна­чит, тре­уголь­ник MNO рав­но­бед­рен­ный, и ON = MO. Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, в ос­но­ва­нии квад­рат и Тогда пло­щадь ос­но­ва­ния равна а объем равен

Ответ:

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

По­сколь­ку пи­ра­ми­да пра­виль­ная, у неё в ос­но­ва­нии лежит квад­рат ABCD. Вы­со­та SO па­да­ет в центр ABCD. Про­ведём апо­фе­мы SM и SK. По­лу­чи­лось, MK  =  CB  =  10. В тре­уголь­ни­ке MSK вы­со­та MN  — рас­сто­я­ние от сто­ро­ны ос­но­ва­ния до про­ти­во­ле­жа­щей бо­ко­вой грани, она равна

Найдём синус угла MKS:

Зна­чит, угол MKS равен 60°. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOK при­мем SO за x. По­сколь­ку катет KO лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SOK имеем:

Таким об­ра­зом, Пло­щадь S ос­но­ва­ния равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, то есть 100. Найдём объём V пи­ра­ми­ды SABCD:

Ответ: 500.

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

По­сколь­ку пи­ра­ми­да пра­виль­ная, у неё в ос­но­ва­нии лежит квад­рат ABCD. Вы­со­та SO па­да­ет в центр ABCD. Про­ведём апо­фе­мы SM и SK. По­лу­чи­лось, MK  =  CB  =  2. В тре­уголь­ни­ке MSK вы­со­та MN  — рас­сто­я­ние от сто­ро­ны ос­но­ва­ния до про­ти­во­ле­жа­щей бо­ко­вой грани, она равна

Найдём синус угла MKS:

Зна­чит, угол MKS равен 60°. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOK при­мем SO за x. По­сколь­ку катет KO лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SOK имеем:

Таким об­ра­зом, Пло­щадь S ос­но­ва­ния равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, то есть 4. Найдём объём V пи­ра­ми­ды SABCD:

Ответ: 4.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит квад­рат ABCD. Апо­фе­ма пи­ра­ми­ды SK пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой DC, тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые OK и DC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Угол SKO яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла при ребре ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, его гра­дус­ная мера равна 60°. Тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOK угол OSK равен 30°, длина ка­те­та OK, ле­жа­ще­го на­про­тив угла OSK, равна по­ло­ви­не длины ги­по­те­ну­зы SK, то есть 6 см. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра в этом тре­уголь­ни­ке:

Бо­ко­вые ребра пра­виль­ной пи­ра­ми­ды равны, от­сю­да тре­уголь­ник DSC  — рав­но­бед­рен­ный. От­ре­зок SK яв­ля­ет­ся вы­со­той и ме­ди­а­ной, тогда длины от­рез­ков DK и KC равны. От­ре­зок OK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ACD, его длина равна по­ло­ви­не длины сто­ро­ны ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, от­сю­да длина сто­ро­ны ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 12 см.

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD. Ис­ко­мым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник BKD. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

В рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ках DSC и BSC от­рез­ки DK и BK яв­ля­ют­ся ме­ди­а­на­ми и вы­со­та­ми, тогда длины от­рез­ков SK и KC равны 3 см. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке DKC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BSK:

Тре­уголь­ник BKD яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, так как от­рез­ки DK и BK равны. От­ре­зок KO яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и вы­со­той в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке BKD, тогда длина от­рез­ка BO равна по­ло­ви­не длины от­рез­ка BD и равна По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KOD:

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKD:

Ответ:

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD. Ис­ко­мым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник AMC. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ADC:

В рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ках ASB и SCB от­рез­ки AM и CM яв­ля­ют­ся ме­ди­а­на­ми и вы­со­та­ми, тогда от­рез­ки SM и MB равны 2 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ASM:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SMC:

Тре­уголь­ник AMC яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, так как от­рез­ки AM и CM равны. От­ре­зок MO яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и вы­со­той в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке AMC, тогда длина AO равна по­ло­ви­не длины AC и равна По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOM:

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMC:

Ответ:

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит квад­рат ABCD, длина его сто­ро­ны равна Най­дем длину диа­го­на­ли квад­ра­та. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABD:

По­стро­им ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при ребре SC. Про­ве­дем вы­со­ту DK в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке DSC. Тре­уголь­ни­ки DCK и BCK равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, сле­до­ва­тель­но, от­рез­ки BK и KD равны, а углы BKC и DKC яв­ля­ют­ся пря­мы­ми. Тогда угол BKD  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при бо­ко­вом ребре пи­ра­ми­ды. Про­ве­дем вы­со­ту SH в тре­уголь­ни­ке DSC, по свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка она яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, от­сю­да По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SHC:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка DSC равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин DC и SH, а также по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин SC и DK, тогда Имеем:

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов и най­дем угол BKD:

Ответ:

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит квад­рат ABCD, длина его сто­ро­ны равна Най­дем длину диа­го­на­ли квад­ра­та. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABD:

По­стро­им ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при ребре SC. Про­ве­дем вы­со­ту DK в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке DSC. Тре­уголь­ни­ки DCK и BCK равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, сле­до­ва­тель­но, от­рез­ки BK и KD равны, а углы BKC и DKC яв­ля­ют­ся пря­мы­ми. Тогда угол BKD  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при бо­ко­вом ребре пи­ра­ми­ды. Про­ве­дем вы­со­ту SH в тре­уголь­ни­ке DSC, по свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка она яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, от­сю­да По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SHC:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка DSC равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин DC и SH, а также по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин SC и DK, тогда Имеем:

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов и най­дем угол BKD:

Ответ: