Так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию, точка H, яв­ля­ю­ща­я­ся ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты пи­ра­ми­ды, яв­ля­ет­ся и цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти, то есть цен­тром пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба ABCD.

Про­ведём HK пер­пен­ди­ку­ляр­но к DC, тогда MK пер­пен­ди­ку­ляр­но к CD. Зна­чит, угол MKH яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между гра­нью MCD и ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, тогда

Рас­смот­рим ромб ABCD. Так как AC  =  8, BD  =  6, то:

По свой­ству ромба угол AHD равен 90°, а AH  =  4, HD  =  3, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AD  =  5. По фор­му­ле

то есть

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке HMK от­ре­зок и то есть

Пусть MH  =  5x, MK  =  13x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

зна­чит, Имеем:

Так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды  — рав­но­ве­ли­кие тре­уголь­ни­ки, то

Ответ: 26.

Квад­рат ABCD  — ос­но­ва­ние пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, SM  — апо­фе­ма. Угол OSM равен 60°, от­ре­зок OM равен по­ло­ви­не сто­ро­ны квад­ра­та. Най­дем его длину: По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SOM:

Длина сто­ро­ны квад­ра­та равна удво­ен­ной длине от­рез­ка OM, то есть Бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды яв­ля­ют­ся рав­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми. Най­дем пло­щадь од­но­го из них:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна сумме пло­ща­дей всех гра­ней, то есть Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния: Таким об­ра­зом, можем найти пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти приз­мы:

Ответ:

Рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC  — ос­но­ва­ние пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, DO  — ее вы­со­та, DM  — апо­фе­ма. Угол ODM равен 45°, от­ре­зок OM яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом впи­сан­ной окруж­но­сти. Най­дем длину от­рез­ка OM:

По свой­ствам впи­сан­ной в пра­виль­ный тре­уголь­ник окруж­но­сти, от­ку­да Вы­чис­лим пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти:

Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния:

Зная пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти и ос­но­ва­ния, най­дем пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти:

Ответ:

Пусть a = 1 см, b = 3 см. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Тогда Бо­ко­вое ребро равно 4 см.Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 12 см³.

Пусть a = 2 см, b = 3 см. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да

Тогда Бо­ко­вое ребро равно 5 см. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 62 см².

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Про­ведём вы­со­ту CN. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ACN в нашем слу­чае, AN  =  AD − (AD − BC) : 2, то есть

Те­перь по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CND найдём бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции, ко­то­рая, так как бо­ко­вые грани приз­мы яв­ля­ют­ся квад­ра­та­ми, будет равна вы­со­те приз­мы:

Пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна сумме пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти и пло­ща­дей ос­но­ва­ний. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти можно найти, умно­жив вы­со­ту на пе­ри­метр ос­но­ва­ния, тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти равна

Объём приз­мы равен про­из­ве­де­нию вы­со­ты на пло­щадь ос­но­ва­ния, в нашем слу­чае

Ответ: 788, 1404.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Про­ведём вы­со­ту CN. Пусть AD  =  a, BC  =  b, AC  =  c, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ACN:

Далее по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке CND:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равен про­из­вед­нию пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на вы­со­ту, в нашем слу­чае

За­ме­тим, что бо­ко­вые грани и диа­го­наль­ное се­че­ние  — пря­мо­уголь­ни­ки, зна­чит, их пло­ща­ди равны ah, bh и dh со­от­вет­ствен­но, тем самым

Ответ: 928.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABP катет AB лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, по­это­му он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, то есть Дру­гой катет этого тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равен 6.

Найдём пло­щадь S пол­ной по­верх­но­сти приз­мы. Её со­став­ля­ет пло­щадь рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка CBE со сто­ро­ной (AB = BC, так как на ри­сун­ке дана раз­верт­ка), взя­тая два­жды, и пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми и 6, взя­тая три­жды. Имеем:

Ответ:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABP катет AB лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, по­это­му он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, то есть Дру­гой катет этого тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равен 3.

Найдём пло­щадь S пол­ной по­верх­но­сти приз­мы. Её со­став­ля­ет пло­щадь рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка CBE со сто­ро­ной (AB = BC, так как на ри­сун­ке дана раз­верт­ка), взя­тая два­жды, и пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми и 3, взя­тая три­жды. Имеем:

Ответ:

Найдём вы­со­ты тре­уголь­ни­ков ABC и ABC по фор­му­ле Тогда под­ста­вим и по­лу­чим, что а Точки O и O₁  — цен­тры тре­уголь­ни­ков ABC и A₁B₁C₁ со­от­вет­ствен­но, тогда а В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции HH₁O₁O про­ве­дем H₁K  — вы­со­ту, при­чем H₁K  =  O₁O. Найдём KH: KH  =  OH − KO  =  OH − H₁O₁. Под­ста­вим и по­лу­чим, что Из тре­уголь­ни­ка HKH₁ найдём HH₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Найдём пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти усе­чен­ной пи­ра­ми­ды по фор­му­ле Под­ста­вим и по­лу­чим, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна 27.

Ответ: 27.

Найдём вы­со­ты тре­уголь­ни­ков ABC и A₁B₁C₁ по фор­му­ле Тогда под­ста­вим и по­лу­чим, что а Точки O и O₁  — цен­тры тре­уголь­ни­ков ABC и A₁B₁C₁ со­от­вет­ствен­но, тогда а В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции HH₁O₁O про­ве­дем H₁K  — вы­со­ту, при­чем H₁K  =  O₁O. Найдём KH: KH  =  OH − KO  =  OH − H₁O₁. Под­ста­вим и по­лу­чим, что Из тре­уголь­ни­ка HKH₁ найдём HH₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Найдём пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти усе­чен­ной пи­ра­ми­ды по фор­му­ле Под­ста­вим и по­лу­чим, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна 54.

Ответ: 54.

Тре­уголь­ник ASO рав­но­бед­рен­ный, так как SO  — это вы­со­та, OA  — ра­ди­ус ко­ну­са, а по усло­вию они равны. Зна­чит,

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти равна

Ответ:

Тре­уголь­ник ASO рав­но­бед­рен­ный, так как SO  — это вы­со­та. Угол A равен 30°, так как про­тив него лежит сто­ро­на, рав­ная по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Зна­чит,

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти равна

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). За­ме­тим, что, так как бо­ко­вые сто­ро­ны на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под одним углом, вы­со­та пи­ра­ми­ды будет па­дать в центр впи­сан­ной окруж­но­сти. Пусть ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его ка­те­тов, либо про­из­ве­де­нию ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти на по­лу­пе­ри­метр, в нашем слу­чае

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке DOK катет DO, яв­ля­ю­щий­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды, равен про­из­ве­де­нию ка­те­та OK, рав­но­го ра­ди­у­су впи­сан­ной окруж­но­сти, на тан­генс угла при бо­ко­вой сто­ро­не пи­ра­ми­ды, то есть Ги­по­те­ну­за DK  — апо­фе­ма пи­ра­ми­ды  — равна част­но­му от де­ле­ния OK на ко­си­нус угла при бо­ко­вой сто­ро­не, то есть Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна сумме пло­ща­дей бо­ко­вой по­верх­но­сти и ос­но­ва­ния, где пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апо­фе­му. Имеем

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). За­ме­тим, что, так как бо­ко­вые сто­ро­ны на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под одним углом, вы­со­та пи­ра­ми­ды будет па­дать в центр впи­сан­ной окруж­но­сти. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна либо про­из­ве­де­нию ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти на по­лу­пе­ри­метр, либо, по фор­му­ле Ге­ро­на, где p  — по­лу­пе­ри­метр, в нашем слу­чае

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник SOK рав­но­бед­рен­ный, так как один из его углов равен 45°, тогда ка­те­ты OK и SO, яв­ля­ю­щи­е­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды и ра­ди­у­сом впи­сан­ной окруж­но­сти, равны. Ги­по­те­ну­за SK  — апо­фе­ма пи­ра­ми­ды  — равна част­но­му от де­ле­ния OK на ко­си­нус угла при бо­ко­вой сто­ро­не, то есть Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апо­фе­му. Имеем

Ответ:

По тео­ре­ме диа­го­на­ли ромба вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны OD пер­пен­ди­ку­ляр­но AC. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах OD₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но AC, сле­до­ва­тель­но, OD₁  =  13 см.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем OD из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ODD₁:

По свой­ству ромба BD  =  2OD, тогда BD  =  10 см.

Так как ABCD ромб, а то Тогда

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABD:

тогда тре­уголь­ник ABD рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но,

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы, зная, что

Ответ: 480 см².

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­дем вы­со­ту CM, ко­то­рая так же яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах по­лу­ча­ем, что C₁M пер­пен­ди­ку­ляр­но AB, тогда C₁M = 13 см.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник MBC: по усло­вию. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке сто­ро­на, ле­жа­щая на про­тив угла в 30°, равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, тогда

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем BM:

Тогда см.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка MCC₁, зная, что CM = 5 см, MC₁  =  13 см, най­дем CC₁:

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы, зная, что :

Ответ: см².

Ос­но­ва­ние пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды  — квад­рат. Точка O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей, тогда SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Про­ведём OM пер­пен­ди­ку­ляр­но DC. Тогда SM пер­пен­ди­ку­ляр­но к CD, угол OMS  =  45°. Зна­чит,

Тогда В тре­уголь­ни­ке SOM имеем:

Так как бо­ко­вые грани четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды равны, то

Пло­щадь ос­но­ва­ния:

Тогда пло­щадь всей бо­ко­вой по­верх­но­сти:

Ответ:

Пи­ра­ми­да пра­виль­ная, тогда ABC  — пра­виль­ный тре­уголь­ник, O  — центр опи­сан­ной около ос­но­ва­ния окруж­но­сти, AO = R = 4 см  — её ра­ди­ус, DO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Про­ведём OM пер­пен­ди­ку­ляр­но к BC. Тогда DM пер­пен­ди­ку­ляр­но к BC, угол OMD = 60°. OM = r  — ра­ди­ус впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти. Так как то r = 2 см.

Так как см. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке DOM угол ODM = 30°, тогда апо­фе­ма пи­ра­ми­ды DM = 2OM = 2 · 2 = 4 см. Зна­чит, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти

Ответ: см².

Так как ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм, то

По усло­вию

Зна­чит, ABCD  — пря­мо­уголь­ник, тогда BD  =  10 см, BB₁ = 24 см. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти найдём по фор­му­ле

Ответ: 672 см².