Диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са 6 см, пло­щадь осе­во­го се­че­ния 12 см². Най­ди­те объем ци­лин­дра, име­ю­ще­го тот же диа­метр ос­но­ва­ния и оди­на­ко­вую с ко­ну­сом ве­ли­чи­ну бо­ко­вой по­верх­но­сти.

Ци­линдр и конус имеют общее ос­но­ва­ние ра­ди­у­сом см. Угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния ко­ну­са равен 120°. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, если из­вест­но, что он имеет рав­ный объем с ко­ну­сом.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды MABCD  — ромб ABCD c диа­го­на­ля­ми BD  =  6, AC  =  8. Все бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды об­ра­зу­ют с ос­но­ва­ни­ем угол, синус ко­то­ро­го равен Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды MABCD яв­ля­ет­ся тра­пе­ция ABCD c пря­мым углом А и ос­но­ва­ни­я­ми ВС  =  3, AD  =  6. Все бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды об­ра­зу­ют с ос­но­ва­ни­ем угол, синус ко­то­ро­го равен 0,6. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Верх­нее ос­но­ва­ние R₁S₁T₁ пря­мой тре­уголь­ной приз­мы RSTR₁S₁T₁ яв­ля­ет­ся пра­виль­ным тре­уголь­ни­ком, пло­щадь ко­то­ро­го равна Через пря­мую RS про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость со­став­ля­ю­щая с ос­но­ва­ни­ем угол, рав­ный Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около по­лу­чив­ше­го­ся в се­че­нии тре­уголь­ни­ка.

Длина вы­со­ты ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равна Через пря­мую AB про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, со­став­ля­ю­щая с ос­но­ва­ни­ем угол, рав­ный Най­ди­те вы­со­ту тре­уголь­ни­ка, по­лу­чив­ше­го­ся в се­че­нии, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны А.

В пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду впи­са­на сфера, центр ко­то­рой делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те пло­щадь сферы, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 18.

На по­верх­но­сти шара даны три такие точки A, B и C, что AB =7, BC =24, AC =25. Центр шара на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии от плос­ко­сти ABC. Най­ди­те объем шара.

Вы­со­та пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна 6 см и со­став­ля­ет угол 60° с плос­ко­стью бо­ко­вой грани. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Угол между вы­со­той пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды и плос­ко­стью ее бо­ко­вой грани равен 45°, апо­фе­ма пи­ра­ми­ды равна 4 см. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Ме­тал­ли­че­ский шар ра­ди­у­са R пе­ре­плав­лен в конус, бо­ко­вая по­верх­ность ко­то­ро­го в два раза боль­ше пло­ща­ди его ос­но­ва­ния. Най­ди­те вы­со­ту ко­ну­са.

Квад­рат бо­ко­вой по­верх­но­сти мед­но­го ко­ну­са вдвое боль­ше квад­ра­та пло­ща­ди ос­но­ва­ния ко­ну­са. Вы­со­та ко­ну­са равна H. Конус пе­ре­плав­лен в шар. Най­ди­те ра­ди­ус шара.

Най­ди­те объем ко­ну­са, бо­ко­вая по­верх­ность ко­то­ро­го пред­став­ля­ет собой кру­го­вой сек­тор с углом 120° и ра­ди­у­сом, рав­ным 12 см.

Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла кру­го­во­го сек­то­ра, пред­став­ля­ю­ще­го собой раз­верт­ку бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са с об­ра­зу­ю­щей, рав­ной 8 см, если бо­ко­вая по­верх­ность ко­ну­са в 4 раза боль­ше пло­ща­ди его ос­но­ва­ния.

Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой тре­уголь­ник с углом при вер­ши­не и ра­ди­у­сом опи­сан­ной во­круг него окруж­но­сти R. Най­ди­те объем ко­ну­са.

Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой тре­уголь­ник с углом при ос­но­ва­нии и ра­ди­у­сом впи­сан­ной в него окруж­но­сти r. Най­ди­те объем ко­ну­са.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 4 и 14 см и диа­го­на­лью 15 см. Две бо­ко­вые грани приз­мы  — квад­ра­ты. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти и объем приз­мы.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция. Пло­щадь диа­го­наль­но­го се­че­ния приз­мы  — 320 см², а пло­ща­ди па­рал­лель­ных бо­ко­вых гра­ней  — 176 и 336 см². Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы.

Най­ди­те объем пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, если ее бо­ко­вое ребро на­кло­не­но к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 45°, а апо­фе­ма равна дм.

Най­ди­те объем пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, если бо­ко­вое ребро на­кло­не­но к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 45°, а апо­фе­ма равна дм.

Най­ди­те вы­со­ту пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой равен если бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды равно сто­ро­не ос­но­ва­ния.

Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, у ко­то­рой все ребра равны, равен b. Най­ди­те ребро пи­ра­ми­ды.

Угол между плос­ко­стя­ми и равен 30°. Точка B на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии см от плос­ко­сти и 2 см от плос­ко­сти Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей и

Угол между плос­ко­стя­ми и равен 60°. Точка M на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 2 см от плос­ко­сти и см от плос­ко­сти Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до пря­мой пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей и

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 6 и 8 см, диа­го­на­ли ко­то­рой пер­пен­ди­ку­ляр­ны бо­ко­вым сто­ро­нам. Все бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под углом 60°. Вы­чис­ли­те объем пи­ра­ми­ды.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 6 и 8 см. Все бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к ее ос­но­ва­нию под углом 30°. Вы­чис­ли­те объем пи­ра­ми­ды.

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 10 см. Рас­сто­я­ние от сто­ро­ны ос­но­ва­ния до про­ти­во­ле­жа­щей бо­ко­вой грани равно Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 2 см. Рас­сто­я­ние от сто­ро­ны ос­но­ва­ния до про­ти­во­ле­жа­щей бо­ко­вой грани равно см. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми и вра­ща­ет­ся во­круг ги­по­те­ну­зы. Най­ди­те объем по­лу­чен­но­го тела вра­ще­ния.

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми и вра­ща­ет­ся во­круг ги­по­те­ну­зы. Най­ди­те объем по­лу­чен­но­го тела вра­ще­ния.

Диа­го­наль пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы со­став­ля­ет с бо­ко­вой гра­нью угол 30°. Най­ди­те объем приз­мы, если сто­ро­на ос­но­ва­ния равна см.

Сто­ро­ны ос­но­ва­ния пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны 6 и 4 см, угол между ними равен 30°. Диа­го­наль боль­шей бо­ко­вой грани равна 10 см. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Вы­со­та пря­мой че­ты­рех­уголь­ной приз­мы равна 8 см, а ее диа­го­на­ли со­став­ля­ют с плос­ко­стью ос­но­ва­ния углы 60° и 45°. Угол между диа­го­на­ля­ми ос­но­ва­ния приз­мы равен 60°. Най­ди­те объем приз­мы.

Вы­со­та пря­мой че­ты­рех­уголь­ной приз­мы равна 6 см, а ее диа­го­на­ли со­став­ля­ют с плос­ко­стью ос­но­ва­ния углы 45° и 30°. Угол между диа­го­на­ля­ми ос­но­ва­ния приз­мы равен 30°. Най­ди­те объем приз­мы.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с углом при вер­ши­не 90° и боль­шей сто­ро­ной 8 см, все дву­гран­ные углы при реб­рах ос­но­ва­ния равны по 30°. Най­ди­те вы­со­ту и пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 5, 5 и 8 см, все бо­ко­вые грани на­кло­не­ны к ее ос­но­ва­нию под углом 45°. Най­ди­те вы­со­ту пи­ра­ми­ды и пло­щадь ее бо­ко­вой по­верх­но­сти.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ яв­ля­ет­ся ромб, BAD=60°. Вы­со­та приз­мы равна 12 см. Рас­сто­я­ние от вер­ши­ны D₁ до пря­мой AC равно 13 см. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы.

В пря­мой приз­ме ABCA₁B₁C₁ AC  =  BC  =  10 см и Рас­сто­я­ние от вер­ши­ны C₁ до пря­мой AB равно 13 см. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы.

Через об­ра­зу­ю­щую ци­лин­дра про­ве­де­ны две такие вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ные плос­ко­сти, что пло­ща­ди по­лу­чен­ных се­че­ний равны см² каж­дая. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра.

Через об­ра­зу­ю­щую ци­лин­дра про­ве­де­ны две такие вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ные плос­ко­сти, что пло­ща­ди по­лу­чен­ных се­че­ний равны см² каж­дая. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ги­по­те­ну­зой a и ост­рым углом Наи­боль­шее рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми приз­мы равно b. Най­ди­те объем приз­мы.

В ос­но­ва­нии пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да лежит ромб, мень­шая диа­го­наль ко­то­ро­го равна m, а ост­рый угол Наи­боль­шее рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми па­рал­ле­ле­пи­пе­да равно n. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Около ко­ну­са опи­са­на пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, длина каж­до­го ребра ко­то­рой равна b. Най­ди­те угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния ко­ну­са и объем ко­ну­са.

Около ко­ну­са опи­са­на пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да, длина каж­до­го ребра ко­то­рой равна a. Най­ди­те угол на­кло­на об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са к плос­ко­сти ос­но­ва­ния и объем ко­ну­са.

Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через сто­ро­ну ос­но­ва­ния, рав­ную 8 см, и се­ре­ди­ну апо­фе­мы про­ти­во­ле­жа­щей грани, если длина апо­фе­мы  — 8 см.

Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, у ко­то­рой все ребра равны, плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через сто­ро­ну ос­но­ва­ния, рав­ную 18 см, и точку, де­ля­щую апо­фе­му пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де бо­ко­вое ребро на­кло­не­но к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30°. Най­ди­те угол на­кло­на бо­ко­вой грани пи­ра­ми­ды к ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де бо­ко­вое ребро на­кло­не­но к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 60°. Най­ди­те угол на­кло­на бо­ко­вой грани пи­ра­ми­ды к ос­но­ва­нию.

Най­ди­те сто­ро­ну ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, у ко­то­рой бо­ко­вое ребро равно 5 см, а бо­ко­вая грань на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 60°.

Най­ди­те сто­ро­ну ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, у ко­то­рой бо­ко­вое ребро равно см, а бо­ко­вая грань на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30°.

Раз­верт­ка бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са  — сек­тор с цен­траль­ным углом 90°. Най­ди­те объем ко­ну­са, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 1 дм.

Раз­верт­ка бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са  — сек­тор с цен­траль­ным углом 60°. Най­ди­те объем ко­ну­са, если об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 6 дм.

Вы­со­та ко­ну­са равна h, рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са до его об­ра­зу­ю­щей m. Вы­ра­зи­те через m и h объем ко­ну­са.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен r, рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са до его об­ра­зу­ю­щей равно k. Вы­ра­зи­те через r и k пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

Най­ди­те объем пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 8 см, если рас­сто­я­ние от вер­ши­ны од­но­го ос­но­ва­ния до про­ти­во­ле­жа­щей сто­ро­ны дру­го­го ос­но­ва­ния равно см.

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ги­по­те­ну­зой 12 см и углом 60°, если рас­сто­я­ние от мень­ше­го ка­те­та в ниж­нем ос­но­ва­нии приз­мы до про­ти­во­ле­жа­щей вер­ши­ны верх­не­го ос­но­ва­ния приз­мы равно 11 см.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — пра­виль­ный тре­уголь­ник. Две бо­ко­вые грани пер­пен­ди­ку­ляр­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, а тре­тья грань на­кло­не­на к ней под углом Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, если ее вы­со­та равна 3 см.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — пра­виль­ный тре­уголь­ник. Две бо­ко­вые грани пер­пен­ди­ку­ляр­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, а тре­тья грань на­кло­не­на к ней под углом Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, если ее вы­со­та равна 2 см.

Боль­шая диа­го­наль пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы равна 12 см и об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 60°. Най­ди­те объем тре­уголь­ной приз­мы, вер­ши­ны ко­то­рой яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми ос­но­ва­ний дан­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, взя­ты­ми через одну.

Мень­шая диа­го­наль пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы равна см и об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 60°. Най­ди­те объем тре­уголь­ной приз­мы, вер­ши­ны ко­то­рой яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми сто­рон ос­но­ва­ния дан­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, взя­ты­ми через одну.

Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC и вы­со­той SO равен V. Точка S  — се­ре­ди­на от­рез­ка OS₁, MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, MN || AB. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды S₁MNC.

Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC и вы­со­той SO равен V. Точка S₁  — се­ре­ди­на вы­со­ты пи­ра­ми­ды, BM  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды S₁ABM.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — квад­рат со сто­ро­ной Одна из бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния, а две смеж­ные с ней бо­ко­вые грани на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — квад­рат. Одна из бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния, а две смеж­ные с ней бо­ко­вые грани на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом Вы­со­та пи­ра­ми­ды равна H. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 13, 14 и 15 см вра­ща­ет­ся во­круг сред­ней сто­ро­ны. Най­ди­те объем тела вра­ще­ния.

Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 30, 25 и 25 см вра­ща­ет­ся около сто­ро­ны, рав­ной 25 см. Най­ди­те объем тела вра­ще­ния.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 1 дм, а угол раз­верт­ки его бо­ко­вой по­верх­но­сти равен 90°. Вы­чис­ли­те пол­ную по­верх­ность ко­ну­са.

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 6 дм, а угол раз­верт­ки его бо­ко­вой по­верх­но­сти равен 60°. Вы­чис­ли­те объем ко­ну­са.

Раз­верт­ка бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са  — сек­тор с цен­траль­ным углом 120°. Най­ди­те объем ко­ну­са, если пе­ри­метр его осе­во­го се­че­ния равен 16 см.

Раз­верт­ка бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са  — по­лу­круг. Пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са равна см². Най­ди­те объем ко­ну­са.

Се­че­ние пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через сто­ро­ну ос­но­ва­ния и се­ре­ди­ну про­ти­во­ле­жа­ще­го бо­ко­во­го ребра, пер­пен­ди­ку­ляр­но этому ребру. Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния, если пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

Се­че­ние пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через сто­ро­ну ос­но­ва­ния и се­ре­ди­ну про­ти­во­ле­жа­ще­го бо­ко­во­го ребра, пер­пен­ди­ку­ляр­но этому ребру. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC у ко­то­ро­го и Диа­го­наль B₁C бо­ко­вой грани со­став­ля­ет с плос­ко­стью AA₁B₁ угол 30°. Най­ди­те объем приз­мы.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 9 и 21 и диа­го­на­лью 17. Ровно две бо­ко­вые грани приз­мы  — квад­ра­ты. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти и объем приз­мы.

Пло­щадь осе­во­го се­че­ния усе­чен­но­го ко­ну­са равна 36. Пло­щадь его верх­не­го ос­но­ва­ния в 4 раза мень­ше пло­ща­ди ниж­не­го, а диа­го­на­ли осе­во­го се­че­ния вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Най­ди­те объем ко­ну­са, ос­но­ва­ние ко­то­ро­го сов­па­да­ет с боль­шим ос­но­ва­ни­ем дан­но­го усе­чен­но­го ко­ну­са, а вер­ши­на  — с цен­тром мень­ше­го ос­но­ва­ния.

Пло­щадь осе­во­го се­че­ния усе­чен­но­го ко­ну­са равна 144, а диа­го­на­ли осе­во­го се­че­ния вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Пло­щадь верх­не­го ос­но­ва­ния ко­ну­са в 9 раз мень­ше пло­ща­ди ниж­не­го. Най­ди­те объем ко­ну­са, ос­но­ва­ние ко­то­ро­го сов­па­да­ет с мень­шим ос­но­ва­ни­ем дан­но­го усе­чен­но­го ко­ну­са, а вер­ши­на  — с цен­тром боль­ше­го ос­но­ва­ния.

От­ре­зок AB яв­ля­ет­ся сто­ро­ной па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD и ги­по­те­ну­зой пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABP. Плос­ко­сти этих фигур об­ра­зу­ют пря­мой дву­гран­ный угол. Из­вест­но, что AP  =  20, BP  =  15, BC  =  9 и Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны P до вер­ши­ны C.

Плос­ко­сти па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD и пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABP вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Из­вест­но, что AP  =  30, BP  =  40, и Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми P и C.

Шар ка­са­ет­ся сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC, где AB  =  4, BC  =  5 и AC  =  7. Рас­сто­я­ние от цен­тра O шара до плос­ко­сти ABC равно Най­ди­те объем шара.

Шар ка­са­ет­ся сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC, у ко­то­ро­го AB  =  14, AC  =  9 и BC  =  13. Рас­сто­я­ние от цен­тра O шара до плос­ко­сти ABC равно Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды PABCD  — ромб ABCD с диа­го­на­ля­ми BD  =  12 и CA  =  16. Все бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды об­ра­зу­ют с ос­но­ва­ни­ем ост­рый угол, синус ко­то­ро­го равен Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Пло­щадь ос­но­ва­ния ABC пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равна Через пря­мую AC про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, пе­ре­се­ка­ю­щая ребро BB₁ в точке K и со­став­ля­ю­щая с пря­мой BB₁ угол, рав­ный Най­ди­те ра­ди­ус R окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка AKC. В от­ве­те за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Пло­щадь ос­но­ва­ния ABC пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равна Через пря­мую AC про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, пе­ре­се­ка­ю­щая ребро BB₁ в точке K и со­став­ля­ю­щая с пря­мой BB₁ угол, рав­ный Най­ди­те ра­ди­ус R окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка AKC. В от­ве­те за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

В пря­мой приз­ме ABCA₁B₁C₁ и Pacсто­я­ние от вер­ши­ны C₁ до пря­мой AB равно 11 см. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 6 и 10, диа­го­наль ко­то­рой пер­пен­ди­ку­ляр­на бо­ко­вой сто­ро­не. Все бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под углом 60°. Вы­чис­ли­те объем V пи­ра­ми­ды. В от­ве­те за­пи­ши­те зна­че­ние

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 3 и 5, диа­го­наль ко­то­рой пер­пен­ди­ку­ляр­на бо­ко­вой сто­ро­не. Все бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под углом 30°. Вы­чис­ли­те объем V пи­ра­ми­ды. В от­ве­те за­пи­ши­те зна­че­ние

Ме­тал­ли­че­ский шар ра­ди­у­са R пе­ре­плав­лен в конус, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­то­ро­го в 2 раза боль­ше пло­ща­ди его ос­но­ва­ния. Най­ди­те вы­со­ту ко­ну­са.

Цен­траль­ный угол в раз­верт­ке бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равен 120°. Вы­со­та ко­ну­са равна Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са.

Цен­траль­ный угол в раз­верт­ке бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равен 120°. Вы­со­та ко­ну­са равна Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды MABCD слу­жит пря­мо­уголь­ник ABCD. Ребро MB пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, а грани AMD и DMC со­став­ля­ют с ос­но­ва­ни­ем со­от­вет­ствен­но углы 30° и 45°. Вы­со­та пи­ра­ми­ды равна Н. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды MABCD слу­жит пря­мо­уголь­ник ABCD, AB  =  a. Ребро MB пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, а грани AMD и DMC со­став­ля­ют с ос­но­ва­ни­ем со­от­вет­ствен­но углы 30° и 60°. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

На по­верх­но­сти шара даны три такие точки A, B и C, что AB  =  8, BC  =  15 и AC  =  17. Центр шара на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии от плос­ко­сти ABC. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

В ос­но­ва­нии пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да лежит ромб, диа­го­на­ли равны 10 и 24. Плос­кость се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через ребро верх­не­го и ребро ниж­не­го ос­но­ва­ний, не при­над­ле­жа­щих одной грани, со­став­ля­ет с ос­но­ва­ни­ем угол 30°. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да. В от­ве­те за­пи­ши­те зна­че­ние

В ос­но­ва­нии пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да лежит ромб, диа­го­на­ли равны 6 и 8. Плос­кость се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через ребро верх­не­го и ребро ниж­не­го ос­но­ва­ний, не при­над­ле­жа­щих одной грани, со­став­ля­ет с ос­но­ва­ни­ем угол 60°. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да. В от­ве­те за­пи­ши­те зна­че­ние

Угол между плос­ко­стя­ми и равен 30°. Точка B на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии см от плос­ко­сти и 2 см от плос­ко­сти Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей и

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, K и M  — се­ре­ди­ны ребер AB и DC со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те угол между пря­мы­ми B₁K и BM.

Се­че­ние пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через сто­ро­ну ос­но­ва­ния и се­ре­ди­ну про­ти­во­ле­жа­ще­го бо­ко­во­го ребра, пер­пен­ди­ку­ляр­но этому ребру. Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния, если пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 6 и 8, диа­го­наль ко­то­рой пер­пен­ди­ку­ляр­на бо­ко­вой сто­ро­не. Все бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под углом 30°. Вы­чис­ли­те объем V пи­ра­ми­ды. В от­ве­те за­пи­ши­те зна­че­ние

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 4 и 8, диа­го­наль ко­то­рой пер­пен­ди­ку­ляр­на бо­ко­вой сто­ро­не. Все бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под углом 60°. Вы­чис­ли­те объем V пи­ра­ми­ды. В от­ве­те за­пи­ши­те зна­че­ние

Най­ди­те вы­со­ту H пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, у ко­то­рой бо­ко­вое ребро равно ребру ос­но­ва­ния, если объем пи­ра­ми­ды равен V. В от­ве­те за­пи­ши­те зна­че­ние

Най­ди­те бо­ко­вое ребро b пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, у ко­то­рой бо­ко­вая грань равна ос­но­ва­нию, если объем пи­ра­ми­ды равен V. В от­ве­те за­пи­ши­те зна­че­ние

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 10. Рас­сто­я­ние от сто­ро­ны ос­но­ва­ния до плос­ко­сти про­ти­во­ле­жа­щей бо­ко­вой грани равно Най­ди­те объем V пи­ра­ми­ды. В от­ве­те ука­жи­те зна­че­ние

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 2. Рас­сто­я­ние от сто­ро­ны ос­но­ва­ния до плос­ко­сти про­ти­во­ле­жа­щей бо­ко­вой грани равно Най­ди­те объем V пи­ра­ми­ды. В от­ве­те ука­жи­те зна­че­ние

Вы­со­та пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 8, а его диа­го­на­ли со­став­ля­ют с плос­ко­стью ос­но­ва­ния углы 60° и 45°. Угол между диа­го­на­ля­ми ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 60°. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Вы­со­та пря­мо­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6, а его диа­го­на­ли со­став­ля­ют с плос­ко­стью ос­но­ва­ния углы 45° и 30°. Угол между диа­го­на­ля­ми ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 30°. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 5, 5 и 8, все бо­ко­вые грани на­кло­не­ны к ее ос­но­ва­нию под углом 45°. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 10, 10 и 12, все бо­ко­вые грани на­кло­не­ны к ее ос­но­ва­нию под углом 60°. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Най­ди­те объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, учи­ты­вая, что его диа­го­наль равна и со­став­ля­ет с одной бо­ко­вой гра­нью угол, рав­ный 30°, а с дру­гой  — 45°.

Най­ди­те объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, учи­ты­вая, что его диа­го­наль равна и со­став­ля­ет с одной бо­ко­вой гра­нью угол, рав­ный 30°, а с ос­но­ва­ни­ем  — 45°.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, длина ребра ко­то­ро­го равна 2. Точка K се­ре­ди­на ребра DD₁. По­строй­те се­че­ние куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A, B₁ и K, и най­ди­те его пло­щадь.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, длина ребра ко­то­ро­го равна 4. Точка K  — се­ре­ди­на ребра A₁D₁. По­строй­те се­че­ние куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A, C и K, и най­ди­те его пло­щадь.

Най­ди­те про­из­ве­де­ние кор­ней урав­не­ния

Най­ди­те про­из­ве­де­ние кор­ней урав­не­ния

Дан конус, вы­со­та ко­то­ро­го равна 8. Опре­де­ли­те, на каком рас­сто­я­нии от плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са нужно про­ве­сти плос­кость, па­рал­лель­ную плос­ко­сти ос­но­ва­ния, чтобы этой плос­ко­стью конус раз­де­лил­ся на части, объёмы ко­то­рых от­но­сят­ся как 3 : 5, счи­тая от вер­ши­ны ко­ну­са.

Дан конус, вы­со­та ко­то­ро­го равна 10. Опре­де­ли­те, на каком рас­сто­я­нии от плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са нужно про­ве­сти плос­кость, па­рал­лель­ную плос­ко­сти ос­но­ва­ния, чтобы этой плос­ко­стью конус раз­де­лил­ся на части, объёмы ко­то­рых от­но­сят­ся как 2 : 3, счи­тая от вер­ши­ны ко­ну­са.

Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ци­лин­дра плос­ко­стью, па­рал­лель­ной его оси и про­хо­дя­щей на рас­сто­я­нии 3 от нее, если пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти  —

Най­ди­те сумму кор­ней урав­не­ния

Най­ди­те сумму кор­ней урав­не­ния

Два ци­лин­дра, вы­со­ты ко­то­рых от­но­сят­ся как 4 : 9, имеют рав­ные объ­е­мы. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей бо­ко­вых по­верх­но­стей дан­ных ци­лин­дров.

Два ци­лин­дра, ра­ди­у­сы ко­то­рых от­но­сят­ся как 2 : 3, имеют рав­ные объ­е­мы. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей бо­ко­вых по­верх­но­стей дан­ных ци­лин­дров.

Най­ди­те ве­ли­чи­ну дву­гран­но­го угла при бо­ко­вом ребре пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды со сто­ро­ной ос­но­ва­ния и бо­ко­вым реб­ром, рав­ным 5.

Най­ди­те ве­ли­чи­ну дву­гран­но­го угла при бо­ко­вом ребре пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды со сто­ро­ной ос­но­ва­ния и бо­ко­вым реб­ром, рав­ным 10.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы слу­жит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 8 и 4. Через боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции и се­ре­ди­ну про­ти­во­ле­жа­ще­го бо­ко­во­го ребра про­ве­де­на плос­кость со­став­ля­ю­щая с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 60°. Пло­щадь се­че­ния равна 48. Най­ди­те объём приз­мы.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы слу­жит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 10 и 5. Через боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции и се­ре­ди­ну про­ти­во­ле­жа­ще­го бо­ко­во­го ребра про­ве­де­на плос­кость, со­став­ля­ю­щая с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 60°. Пло­щадь се­че­ния равна 45. Най­ди­те объём приз­мы.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да PABC, у ко­то­рой бо­ко­вое ребро равно 7, ребро ос­но­ва­ния  — 6; точка M  — се­ре­ди­на ребра PC. По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A и M па­рал­лель­но ребру PB и най­ди­те длину наи­боль­шей сто­ро­ны этого се­че­ния.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да PABC, у ко­то­рой бо­ко­вое ребро равно 14, ребро ос­но­ва­ния  — 8; точка M  — се­ре­ди­на ребра PB. По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A и M па­рал­лель­но ребру PC и най­ди­те длину наи­мень­шей сто­ро­ны этого се­че­ния.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, ги­по­те­ну­за ко­то­ро­го равна 8. Все дву­гран­ные углы при реб­рах ос­но­ва­ния равны 60°. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, ги­по­те­ну­за ко­то­ро­го равна 10. Все дву­гран­ные углы при реб­рах ос­но­ва­ния равны 45°. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.